Verifique que u=u(x, y)=x^{3}-3 x y^{2} é harmônica no domínio A=\mathbb{R}^{2} e ache uma conjugada harmônica v=v(x, y) tal que v(0,0)=2.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Verificar que u=u(x,y)=x^{3}-3xy^{2} é harmônica no domínio A=\mathbb{R}^{2}.
  • Achar uma conjugada harmônica v=v(x,y) tal que v(0,0)=2.
Informações dadas:
  • A função dada é u(x,y)=x^{3}-3xy^{2}.
  • O domínio é A=\mathbb{R}^{2} (o plano inteiro).
  • Condição adicional para fixar a constante de integração: v(0,0)=2.

Passo 2

Definição útil (breve explicação didática): uma função u(x,y) é harmônica num domínio quando sua Laplaciana é zero, isto é quando
\Delta u = u_{xx}+u_{yy}=0.
Aqui u_x e u_y são as derivadas parciais de primeira ordem de u em relação a x e y; u_{xx} e u_{yy} são as derivadas parciais de segunda ordem.
Vamos calcular as derivadas parciais de u.
Calcule u_x (derivada de u em relação a x, tratando y como constante):
u_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}-3xy^{2}\bigr)=3x^{2}-3y^{2}=3(x^{2}-y^{2}).
Calcule u_y (derivada de u em relação a y, tratando x como constante):
u_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}-3xy^{2}\bigr)=-6xy.

Passo 3

Agora as segundas derivadas:
Calcule u_{xx}:
u_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}-3y^{2}\bigr)=6x.
Calcule u_{yy}:
u_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-6xy\bigr)=-6x.
Some as Laplaciana:
\Delta u = u_{xx}+u_{yy}=6x+(-6x)=0.
Conclusão desta parte: como \Delta u=0 em todo o plano, u é harmônica em A=\mathbb{R}^{2}.

Passo 4

Agora vamos achar uma conjugada harmônica v. Explicação didática do método: se u é a parte real de uma função holomorfa f(z)=u+iv (onde z=x+iy), as equações de Cauchy–Riemann relacionam u e v. As equações de Cauchy–Riemann são
u_x = v_y,\qquad u_y = -v_x.
Aqui v_x e v_y são as derivadas parciais de v. Num domínio simplesmente conexo (como \mathbb{R}^2), toda função harmônica localmente é parte real de alguma função holomorfa, então existe uma conjugada harmônica v (à diferença de domínios com buracos, onde pode faltar uma conjugada global).
Usaremos as equações de Cauchy–Riemann para determinar v.

Passo 5

Usando u_y=-v_x (rearranjando a segunda equação):
v_x = -u_y.
Já calculamos u_y=-6xy, assim
v_x = -(-6xy)=6xy.
Integramos v_x em relação a x (tratando y como constante) para obter v:
v(x,y)=\int 6xy\,dx = 3x^{2}y + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (constante de integração em relação a x).

Passo 6

Agora usamos a outra equação de Cauchy–Riemann u_x = v_y para encontrar h(y).
Calcule v_y a partir de v(x,y)=3x^{2}y+h(y):
v_y = 3x^{2} + h'(y).
Igualando a u_x (que já calculamos ser 3(x^{2}-y^{2})):
3x^{2} + h'(y) = 3(x^{2}-y^{2}).
Cancelando 3x^{2} dos dois lados:
h'(y) = -3y^{2}.
Integre em relação a y:
h(y)=\int -3y^{2}\,dy = -y^{3} + C,
onde C é uma constante real.
Assim obtemos uma expressão para v:
v(x,y)=3x^{2}y - y^{3} + C.

Passo 7

Use a condição dada v(0,0)=2 para determinar C. Substituindo x=0 e y=0 em v:
v(0,0)=3\cdot 0^{2}\cdot 0 - 0^{3} + C = C.
Como v(0,0)=2, segue C=2.
Portanto a conjugada harmônica buscada é
v(x,y)=3x^{2}y - y^{3} + 2.
Verificação rápida (didática): calcule v_x e v_y e confirme as equações de Cauchy–Riemann.
v_x = 6xy,\qquad v_y=3x^{2}-3y^{2}.
Estas satisfazem v_x=-u_y (pois u_y=-6xy) e v_y=u_x (pois u_x=3x^{2}-3y^{2}), logo v é realmente uma conjugada harmônica de u. Também v é harmônica (podemos checar \Delta v = 0 se desejar).

Passo 8

Resumo final e incentivo: concluímos passo a passo que \Delta u=0 (logo u é harmônica) e encontramos a conjugada harmônica v que satisfaz a condição inicial imposta. Mandou bem por ter trazido a questão — funções harmônicas + CR é sempre um par legal de dominar antes da prova!

Resposta

u é harmônica em A=\mathbb{R}^{2} porque \Delta u=0.
v(x,y)=3x^{2}y - y^{3} + 2.

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