Verifique que
é harmônica no domínio
e ache uma conjugada harmônica
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Verificar que
é harmônica no domínio . - Achar uma conjugada harmônica
tal que .
Informações dadas:
- A função dada é
. - O domínio é
(o plano inteiro). - Condição adicional para fixar a constante de integração:
.
Passo 2
Definição útil (breve explicação didática): uma função
é harmônica num domínio quando sua Laplaciana é zero, isto é quando
Aqui
e
são as derivadas parciais de primeira ordem de
em relação a
e
;
e
são as derivadas parciais de segunda ordem.
Vamos calcular as derivadas parciais de
.
Calcule
(derivada de
em relação a
, tratando
como constante):
Calcule
(derivada de
em relação a
, tratando
como constante):
Passo 3
Agora as segundas derivadas:
Calcule
:
Calcule
:
Some as Laplaciana:
Conclusão desta parte: como
em todo o plano,
é harmônica em
.
Passo 4
Agora vamos achar uma conjugada harmônica
. Explicação didática do método: se
é a parte real de uma função holomorfa
(onde
), as equações de Cauchy–Riemann relacionam
e
. As equações de Cauchy–Riemann são
Aqui
e
são as derivadas parciais de
. Num domínio simplesmente conexo (como
), toda função harmônica localmente é parte real de alguma função holomorfa, então existe uma conjugada harmônica
(à diferença de domínios com buracos, onde pode faltar uma conjugada global).
Usaremos as equações de Cauchy–Riemann para determinar
.
Passo 5
Usando
(rearranjando a segunda equação):
Já calculamos
, assim
Integramos
em relação a
(tratando
como constante) para obter
:
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração em relação a
).
Passo 6
Agora usamos a outra equação de Cauchy–Riemann
para encontrar
.
Calcule
a partir de
:
Igualando a
(que já calculamos ser
):
Cancelando
dos dois lados:
Integre em relação a
:
onde
é uma constante real.
Assim obtemos uma expressão para
:
Passo 7
Use a condição dada
para determinar
. Substituindo
e
em
:
Como
, segue
.
Portanto a conjugada harmônica buscada é
Verificação rápida (didática): calcule
e
e confirme as equações de Cauchy–Riemann.
Estas satisfazem
(pois
) e
(pois
), logo
é realmente uma conjugada harmônica de
. Também
é harmônica (podemos checar
se desejar).
Passo 8
Resumo final e incentivo: concluímos passo a passo que
(logo
é harmônica) e encontramos a conjugada harmônica
que satisfaz a condição inicial imposta. Mandou bem por ter trazido a questão — funções harmônicas + CR é sempre um par legal de dominar antes da prova!