Usando as Equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares, mostre que:
é analítica no domínio
e sua derivada é dada por
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Mostrar que
é analítica no domínio . - Calcular a derivada
e mostrar que ela é .
Informações dadas pelo enunciado:
- A função é
. - O domínio de interesse é
, ou seja, todos os complexos exceto .
Passo 2
Explicando as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares (fórmula e origem).
Primeiro, relação entre coordenadas cartesianas e polares: com
Primeiro, relação entre coordenadas cartesianas e polares:
Se
, então podemos ver
e
como funções de
:
, idem para
. Pela regra da cadeia temos (mostrando passo a passo):
e análogamente
Agora as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas cartesianas são
Substituindo estas igualdades nas expressões acima e fazendo as contas (mostro em termos diretos nos próximos passos) obtém-se as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares:
Essas são as fórmulas que usaremos para verificar analiticidade em coordenadas polares.
Além disso, quando
e
são diferenciáveis e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann (em domínio onde
), a derivada complexa pode ser obtida por diferenciação radial. Intuição e fórmula: um incremento radial
dá
, enquanto
; portanto a derivada é
Vou usar exatamente essa fórmula (justificada pela independência da direção quando as Cauchy–Riemann valem).]
Passo 3
Escrever
em coordenadas polares e separar as partes real e imaginária.
Temos
Temos
Usando
, obtemos
Assim as componentes real e imaginária são
Passo 4
Calcular as derivadas parciais necessárias (detalhadamente).
Derivando em relação a :
Derivando em relação a
Derivando em relação a
:
Passo 5
Verificar as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares substituindo os resultados acima.
Primeira equação:
Primeira equação:
que é exatamente
. Segunda equação:
que é exatamente
. Portanto as equações
são satisfeitas para todo
(ou seja, para todo
).
Além disso,
e
são funções
de
para
, logo são contínuas e diferenciáveis; isso garante as hipóteses que permitem concluir que
é holomorfa (analítica) em todo ponto com
. Conclusão parcial:
é analítica em
.
Passo 6
Calcular explicitamente
usando a fórmula polar
e simplificar até obter em termos de
.
Já temos
Já temos
Note que
Assim
Multiplicando por
:
Reescrevendo em termos de
:
. Portanto
válido para todo
.
Passo 7
Finalizando e interpretando: mostramos que as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares são satisfeitas para todo
e que
são suficientemente suaves, logo
é analítica em
. Calculamos a derivada e a simplificamos para
. Continua valendo que em
a função não é definida nem diferenciável, por isso o domínio natural de analiticidade é exatamente
.