Usando as Equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares, mostre que:
f(z)=\frac{1}{z^{3}} é analítica no domínio A=\mathbb{C}^{*} e sua derivada é dada por f^{\prime}(z)=-\frac{3}{z^{4}}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Mostrar que f(z)=\dfrac{1}{z^{3}} é analítica no domínio A=\mathbb{C}^{*}=\mathbb{C}\setminus\{0\}.
  • Calcular a derivada f^{\prime}(z) e mostrar que ela é -\dfrac{3}{z^{4}}.
Informações dadas pelo enunciado:
  • A função é f(z)=\dfrac{1}{z^{3}}.
  • O domínio de interesse é A=\mathbb{C}^{*}, ou seja, todos os complexos exceto z=0.

Passo 2

Explicando as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares (fórmula e origem).
Primeiro, relação entre coordenadas cartesianas e polares: z=x+iy com
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad r>0,\\ \theta\in\mathbb{R}.
Se f(z)=u(x,y)+i v(x,y), então podemos ver u e v como funções de (r,\theta): u(r,\theta)=u(x(r,\theta),y(r,\theta)), idem para v. Pela regra da cadeia temos (mostrando passo a passo):
\begin{aligned} u_r &= u_x\frac{\partial x}{\partial r}+u_y\frac{\partial y}{\partial r} = u_x\cos\theta + u_y\sin\theta,\\[4pt] u_\theta &= u_x\frac{\partial x}{\partial\theta}+u_y\frac{\partial y}{\partial\theta} = u_x(-r\sin\theta)+u_y(r\cos\theta), \end{aligned}
e análogamente
\begin{aligned} v_r &= v_x\cos\theta + v_y\sin\theta,\\[4pt] v_\theta &= v_x(-r\sin\theta)+v_y(r\cos\theta). \end{aligned}
Agora as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas cartesianas são
u_x = v_y,\qquad u_y = -v_x.
Substituindo estas igualdades nas expressões acima e fazendo as contas (mostro em termos diretos nos próximos passos) obtém-se as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares:
u_r = \frac{1}{r}\,v_\theta,\qquad v_r = -\frac{1}{r}\,u_\theta.
Essas são as fórmulas que usaremos para verificar analiticidade em coordenadas polares.
Além disso, quando u e v são diferenciáveis e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann (em domínio onde r>0), a derivada complexa pode ser obtida por diferenciação radial. Intuição e fórmula: um incremento radial \Delta r \Delta f\approx (u_r+i v_r)\Delta r, enquanto \Delta z\approx e^{i\theta}\Delta r; portanto a derivada é
f'(z)=\lim_{\Delta r\to0}\frac{\Delta f}{\Delta z}=e^{-i\theta}\bigl(u_r+i v_r\bigr).
Vou usar exatamente essa fórmula (justificada pela independência da direção quando as Cauchy–Riemann valem).]

Passo 3

Escrever f em coordenadas polares e separar as partes real e imaginária.
Temos
f(z)=\frac{1}{z^{3}}=z^{-3}=(re^{i\theta})^{-3}=r^{-3}e^{-3i\theta}.
Usando e^{-3i\theta}=\cos(3\theta)-i\sin(3\theta), obtemos
f(z)=r^{-3}\bigl(\cos(3\theta)-i\sin(3\theta)\bigr).
Assim as componentes real e imaginária são
u(r,\theta)=r^{-3}\cos(3\theta),\qquad v(r,\theta)=-r^{-3}\sin(3\theta).

Passo 4

Calcular as derivadas parciais necessárias (detalhadamente).
Derivando em relação a r:
\begin{aligned} u_r &= \frac{\partial}{\partial r}\bigl(r^{-3}\cos(3\theta)\bigr) = -3 r^{-4}\cos(3\theta),\\[4pt] v_r &= \frac{\partial}{\partial r}\bigl(-r^{-3}\sin(3\theta)\bigr) = 3 r^{-4}\sin(3\theta). \end{aligned}
Derivando em relação a \theta:
\begin{aligned} u_\theta &= \frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(r^{-3}\cos(3\theta)\bigr) = r^{-3}(-3\sin(3\theta)) = -3 r^{-3}\sin(3\theta),\\[4pt] v_\theta &= \frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(-r^{-3}\sin(3\theta)\bigr) = -r^{-3}(3\cos(3\theta)) = -3 r^{-3}\cos(3\theta). \end{aligned}]

Passo 5

Verificar as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares substituindo os resultados acima.
Primeira equação:
\frac{1}{r}v_\theta = \frac{1}{r}\bigl(-3 r^{-3}\cos(3\theta)\bigr) = -3 r^{-4}\cos(3\theta),
que é exatamente u_r. Segunda equação:
-\frac{1}{r}u_\theta = -\frac{1}{r}\bigl(-3 r^{-3}\sin(3\theta)\bigr)=3 r^{-4}\sin(3\theta),
que é exatamente v_r. Portanto as equações
u_r=\frac{1}{r}v_\theta,\qquad v_r=-\frac{1}{r}u_\theta
são satisfeitas para todo r>0 (ou seja, para todo z\neq0).
Além disso, u e v são funções C^\infty de (r,\theta) para r>0, logo são contínuas e diferenciáveis; isso garante as hipóteses que permitem concluir que f é holomorfa (analítica) em todo ponto com r>0. Conclusão parcial: f é analítica em \mathbb{C}^{*}.

Passo 6

Calcular explicitamente f'(z) usando a fórmula polar f'(z)=e^{-i\theta}(u_r+i v_r) e simplificar até obter em termos de z.
Já temos
u_r+i v_r = -3 r^{-4}\cos(3\theta) + i\bigl(3 r^{-4}\sin(3\theta)\bigr) =3 r^{-4}\bigl(-\cos(3\theta)+i\sin(3\theta)\bigr).
Note que -\cos(3\theta)+i\sin(3\theta) = -\bigl(\cos(3\theta)-i\sin(3\theta)\bigr)= -e^{-3i\theta}. Assim
u_r+i v_r = -3 r^{-4} e^{-3i\theta}.
Multiplicando por e^{-i\theta}:
f'(z)=e^{-i\theta}(u_r+i v_r)=e^{-i\theta}\bigl(-3 r^{-4} e^{-3i\theta}\bigr) = -3 r^{-4} e^{-4i\theta}.
Reescrevendo em termos de z: r^{-4}e^{-4i\theta}=(re^{i\theta})^{-4}=z^{-4}. Portanto
f'(z) = -3 z^{-4} = -\frac{3}{z^{4}},
válido para todo z\neq 0.

Passo 7

Finalizando e interpretando: mostramos que as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares são satisfeitas para todo r>0 e que u,v são suficientemente suaves, logo f é analítica em \mathbb{C}^{*}. Calculamos a derivada e a simplificamos para -3/z^{4}. Continua valendo que em z=0 a função não é definida nem diferenciável, por isso o domínio natural de analiticidade é exatamente \mathbb{C}^{*}.

Resposta

f é analítica em A=\mathbb{C}^{*}.\n f'(z)=-\dfrac{3}{z^{4}}.

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