Verifique, utilizando a definição, se os vetores dados são autovetores do operador linear
:
Passo 1
O enunciado fornece o operador linear
e o vetor
:
-
. -
.
O que se pede: verificar, usando a definição de autovetor, se
é um autovetor de
. Ou seja, existe algum escalar
tal que
?
Passo 2
Lembrete da definição (passo-a-passo e bem didático):
- Dizemos que
é um autovetor de se e existe um número real (ou escalar) chamado autovalor tal que
- Na prática, para vetores em
, isso significa que as duas componentes de têm que ser exatamente as duas componentes de . Vetores são iguais se, e só se, suas componentes correspondentes forem iguais.
Passo 3
Vamos calcular
aplicando a definição do operador em
. Calcule cada componente:
Agora efetuando as multiplicações e somas:
Passo 4
Agora impomos a condição de autovetor: queremos
tal que
Escrevendo componentes, isso é
Igualando componente a componente obtemos o sistema
Da primeira equação segue
. Substituindo na segunda dá
, isto é
, que é impossível.
Passo 5
Houve contradição: não existe nenhum
que satisfaça ambas as igualdades simultaneamente. Portanto
não é múltiplo escalar de
, ou seja,
não satisfaz a condição
.
Resposta
O vetor
não é autovetor do operador
.