Verifique, utilizando a definição, se os vetores dados são autovetores do operador linear T(x, y)=(2 x-y, x+4 y) :
v=(1,2)

Passo 1

O enunciado fornece o operador linear T e o vetor v:
  • T(x,y) = (2x - y,\; x + 4y).
  • v = (1,2).
O que se pede: verificar, usando a definição de autovetor, se v é um autovetor de T. Ou seja, existe algum escalar \lambda tal que T(v)=\lambda v?

Passo 2

Lembrete da definição (passo-a-passo e bem didático):
  • Dizemos que v é um autovetor de T se v\neq(0,0) e existe um número real (ou escalar) \lambda chamado autovalor tal que
T(v)=\lambda v.
  • Na prática, para vetores em \mathbb{R}^2, isso significa que as duas componentes de T(v) têm que ser exatamente as duas componentes de \lambda v. Vetores são iguais se, e só se, suas componentes correspondentes forem iguais.

Passo 3

Vamos calcular T(v) aplicando a definição do operador em v=(1,2). Calcule cada componente:
T(1,2)=(\,2\cdot 1 - 2,\; 1 + 4\cdot 2\,).
Agora efetuando as multiplicações e somas:
T(1,2)=(0,\;9).

Passo 4

Agora impomos a condição de autovetor: queremos \lambda tal que
T(1,2)=\lambda(1,2).
Escrevendo componentes, isso é
(0,9)=(\lambda,\;2\lambda).
Igualando componente a componente obtemos o sistema
0=\lambda \qquad\text{e}\qquad 9=2\lambda.
Da primeira equação segue \lambda=0. Substituindo na segunda dá 9=2\cdot 0, isto é 9=0, que é impossível.

Passo 5

Houve contradição: não existe nenhum \lambda que satisfaça ambas as igualdades simultaneamente. Portanto T(1,2) não é múltiplo escalar de (1,2), ou seja, v não satisfaz a condição T(v)=\lambda v.

Resposta

O vetor v=(1,2) não é autovetor do operador T.

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