Dados os vetores u_{1}=(2,-1), u_{2}=(1,1), u_{3}=(-1,-4), v_{1}=(1,3), v_{2}=(2,3) e v_{3}=(5,-6), determine se existe uma transformação linear L: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que L\left(u_{1}\right)= v_{1}, L\left(u_{2}\right)=v_{2} \mathrm{e} L\left(u_{3}\right)=v(3. ) Em caso positivo determine sua lei de formação.çã

Passo 1

O enunciado dá os vetores
u_{1}=(2,-1),\quad u_{2}=(1,1),\quad u_{3}=(-1,-4),
v_{1}=(1,3),\quad v_{2}=(2,3),\quad v_{3}=(5,-6).
A pergunta é: existe uma transformação linear L:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} tal que
L(u_{1})=v_{1},\qquad L(u_{2})=v_{2},\qquad L(u_{3})=v_{3}?
Se sim, determinar a lei de formação de L. Se não, concluir que não existe.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): uma transformação L é linear quando, para quaisquer vetores x,y e escalares \alpha,\beta,
L(\alpha x+\beta y)=\alpha L(x)+\beta L(y).
Isto implica que, uma vez fixadas as imagens de um sistema de vetores que formem base de \mathbb{R}^2, as imagens de todos os outros vetores ficam determinadas (porque todo vetor é combinação linear dos vetores da base). Por isso a estratégia é:
  • checar se dois dos u_i formam base (isto é, são linearmente independentes);
  • expressar o terceiro u_j como combinação linear dos dois primeiros;
  • impor linearidade para ver se a imagem exigida v_j é compatível com essa combinação.
Não se pula etapas: vou mostrar passo a passo como checar independência, resolver combinações lineares e verificar compatibilidade.

Passo 3

Verificar se u_{1} e u_{2} são linearmente independentes (ou seja, se formam uma base de \mathbb{R}^2). Calculo o determinante da matriz cujas colunas são u_{1} e u_{2}:
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}=2\cdot 1-(-1)\cdot 1=2+1=3.
Como \det=3\neq 0, os vetores u_{1} e u_{2} são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de \mathbb{R}^2. Logo qualquer vetor de \mathbb{R}^2, em particular u_{3}, pode ser escrito de forma única como combinação linear de u_{1} e u_{2}.]

Passo 4

Encontrar escalares a,b\) tais que \[u_{3}=a\,u_{1}+b\,u_{2}.
Escrevendo componentes:
a(2,-1)+b(1,1)=(-1,-4).
Isto gera o sistema de equações
\begin{cases} 2a+b=-1,\\[4pt] - a + b = -4. \end{cases}
Vou resolver passo a passo. Da segunda equação obtemos b=-4+a\]. Substituindo na primeira: \[2a+(-4+a)=-1 \quad\Rightarrow\quad 3a-4=-1 \quad\Rightarrow\quad 3a=3 \quad\Rightarrow\quad a=1.\] Então \(b=-4+a=-4+1=-3. Portanto
u_{3}=1\cdot u_{1}+(-3)\cdot u_{2}.]

Passo 5

Aplicar linearidade: se existir L linear com L(u_{1})=v_{1} e L(u_{2})=v_{2}, então
L(u_{3})=L(1\cdot u_{1}-3\cdot u_{2})=1\cdot L(u_{1})-3\cdot L(u_{2})=v_{1}-3v_{2}.
Calculo v_{1}-3v_{2} explicitamente:
v_{1}-3v_{2}=(1,3)-3(2,3)=(1,3)-(6,9)=(1-6,\;3-9)=(-5,-6).

Passo 6

Comparar com a imagem exigida v_{3}. Foi dado v_{3}=(5,-6). Observa-se que
v_{1}-3v_{2}=(-5,-6)\neq (5,-6)=v_{3},
ou seja, a primeira coordenada não coincide ( -5 é diferente de 5 ), embora a segunda coordena seja igual. Essa discrepância mostra que a imagem exigida para u_{3} não respeita a linearidade imposta pelas imagens de u_{1} e u_{2}. Portanto NÃO é possível existir uma transformação linear L que satisfaça simultaneamente as três igualdades dadas.

Passo 7

Observação prática e útil (como procederia se fosse compatível): quando as imagens de uma base são fornecidas e são compatíveis, a matriz A da transformação no sistema canônico pode ser obtida por
A=[v_{1}\; v_{2}]\,[u_{1}\; u_{2}]^{-1}.
No nosso caso particular, calculando mesmo assim para ver a consistência, tem-se
[u_{1}\; u_{2}]=\begin{pmatrix}2&1\\[4pt]-1&1\end{pmatrix},\qquad [u_{1}\; u_{2}]^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1&-1\\[4pt]1&2\end{pmatrix},
[v_{1}\; v_{2}]=\begin{pmatrix}1&2\\[4pt]3&3\end{pmatrix},
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A=[v_{1}\; v_{2}]\,[u_{1}\; u_{2}]^{-1}=\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]2&1\end{pmatrix}.
Com essa matriz teríamos A u_{1}=v_{1} e A u_{2}=v_{2}, e também A u_{3}=(-5,-6), confirmando o cálculo anterior. Como A u_{3}\neq v_{3}, concluímos de novo que não existe L com as três imagens pedidas.]

Resposta

Não existe transformação linear L:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} que satisfaça simultaneamente L(u_{1})=v_{1}, L(u_{2})=v_{2} e L(u_{3})=v_{3}.

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