Dados os vetores
e
, determine se existe uma transformação linear
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá os vetores
A pergunta é: existe uma transformação linear
tal que
Se sim, determinar a lei de formação de
. Se não, concluir que não existe.
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): uma transformação
é linear quando, para quaisquer vetores
e escalares
,
Isto implica que, uma vez fixadas as imagens de um sistema de vetores que formem base de
, as imagens de todos os outros vetores ficam determinadas (porque todo vetor é combinação linear dos vetores da base). Por isso a estratégia é:
- checar se dois dos
formam base (isto é, são linearmente independentes); - expressar o terceiro
como combinação linear dos dois primeiros; - impor linearidade para ver se a imagem exigida
é compatível com essa combinação.
Não se pula etapas: vou mostrar passo a passo como checar independência, resolver combinações lineares e verificar compatibilidade.
Passo 3
Verificar se
e
são linearmente independentes (ou seja, se formam uma base de
). Calculo o determinante da matriz cujas colunas são
e
:
Como
, os vetores
e
são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de
. Logo qualquer vetor de
, em particular
, pode ser escrito de forma única como combinação linear de
e
.]
Passo 4
Encontrar escalares
Escrevendo componentes:
Isto gera o sistema de equações
Vou resolver passo a passo. Da segunda equação obtemos
. Portanto
Passo 5
Aplicar linearidade: se existir
linear com
e
, então
Calculo
explicitamente:
Passo 6
Comparar com a imagem exigida
. Foi dado
. Observa-se que
ou seja, a primeira coordenada não coincide (
é diferente de
), embora a segunda coordena seja igual. Essa discrepância mostra que a imagem exigida para
não respeita a linearidade imposta pelas imagens de
e
. Portanto NÃO é possível existir uma transformação linear
que satisfaça simultaneamente as três igualdades dadas.
Passo 7
Observação prática e útil (como procederia se fosse compatível): quando as imagens de uma base são fornecidas e são compatíveis, a matriz
da transformação no sistema canônico pode ser obtida por
No nosso caso particular, calculando mesmo assim para ver a consistência, tem-se
logo
Com essa matriz teríamos
e
, e também
, confirmando o cálculo anterior. Como
, concluímos de novo que não existe
com as três imagens pedidas.]
Resposta
Não existe transformação linear
que satisfaça simultaneamente
,
e
.