Verifique, utilizando a definição, se os vetores dados são autovetores do operador linear T(x, y)=(2 x-y, x+4 y) :
v=(-1,1)

Passo 1

O enunciado dá o operador linear T e o vetor v e pede que verifiquemos, usando a definição, se v é um autovetor de T.
Informações dadas:
  • O operador linear é T(x,y)=(2x-y,\;x+4y).
  • O vetor é v=(-1,1).
Pergunta a responder:
  • Verificar se existe um escalar \lambda tal que T(v)=\lambda v. Se sim, identificar esse \lambda.

Passo 2

Definição (explicada de forma simples): um vetor v\neq(0,0) é autovetor do operador linear T se existir um número real \lambda (chamado autovalor) tal que
T(v)=\lambda v.
Em palavras: ao aplicar T em v obtém-se exatamente o mesmo vetor v apenas multiplicado por um escalar \lambda. Para verificar, calculamos T(v) e vemos se ele é proporcional a v por um mesmo fator em ambas as coordenadas.

Passo 3

Primeiro, confirmar que o vetor não é o vetor zero (pois o vetor zero não é considerado autovetor).
O vetor dado é v=(-1,1). Como -1\neq0 e 1\neq0, então v\neq(0,0). Podemos prosseguir.

Passo 4

Calcular T(v) passo a passo, substituindo x=-1 e y=1 na definição de T.
Primeira coordenada:
2x-y = 2\cdot(-1)-1 = -2-1 = -3.
Segunda coordenada:
x+4y = (-1)+4\cdot1 = -1+4 = 3.
Portanto
T(v)=(-3,\,3).

Passo 5

Verificar se T(v) é um múltiplo escalar de v. Procuramos \lambda tal que
T(v)=\lambda v.
Isto é, queremos (-3,3)=\lambda(-1,1). Compare componente a componente:
Da primeira coordenada:
-3=\lambda\cdot(-1)\quad\Rightarrow\quad \lambda=3.
Da segunda coordenada:
3=\lambda\cdot 1\quad\Rightarrow\quad \lambda=3.
As duas componentes dão o mesmo valor \lambda=3, logo são consistentes. Além disso,
3\cdot(-1,1)=(-3,3)=T(v).

Passo 6

Conclusão didática e curta: encontramos um escalar \lambda=3 tal que T(v)=\lambda v. Isso significa que v é autovetor de T e o autovalor associado é \lambda=3. É sempre assim: calcule T(v) e veja se todas as coordenadas são multiplicadas pelo mesmo escalar em relação a v.

Resposta

Sim, v é autovetor de T com autovalor 3.

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