Verifique, utilizando a definição, se os vetores dados são autovetores do operador linear
:
Passo 1
O enunciado dá o operador linear
e o vetor
e pede que verifiquemos, usando a definição, se
é um autovetor de
.
Informações dadas:
- O operador linear é
. - O vetor é
.
Pergunta a responder:
- Verificar se existe um escalar
tal que . Se sim, identificar esse .
Passo 2
Definição (explicada de forma simples): um vetor
é autovetor do operador linear
se existir um número real
(chamado autovalor) tal que
Em palavras: ao aplicar
em
obtém-se exatamente o mesmo vetor
apenas multiplicado por um escalar
. Para verificar, calculamos
e vemos se ele é proporcional a
por um mesmo fator em ambas as coordenadas.
Passo 3
Primeiro, confirmar que o vetor não é o vetor zero (pois o vetor zero não é considerado autovetor).
O vetor dado é . Como
e
, então
. Podemos prosseguir.
O vetor dado é
Passo 4
Calcular
passo a passo, substituindo
e
na definição de
.
Primeira coordenada:
Segunda coordenada:
Portanto
Passo 5
Verificar se
é um múltiplo escalar de
. Procuramos
tal que
Isto é, queremos
. Compare componente a componente:
Da primeira coordenada:
Da segunda coordenada:
As duas componentes dão o mesmo valor
, logo são consistentes. Além disso,
Passo 6
Conclusão didática e curta: encontramos um escalar
tal que
. Isso significa que
é autovetor de
e o autovalor associado é
. É sempre assim: calcule
e veja se todas as coordenadas são multiplicadas pelo mesmo escalar em relação a
.
Resposta
Sim,
é autovetor de
com autovalor
.