Verifique, utilizando o determinante Wronskiano, que os pares de funções dadas são linearmente independentes;
\{\cos (x), \operatorname{sen}(x)\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar, usando o determinante Wronskiano, que as funções \cos(x) e \sin(x) são linearmente independentes. Vamos usar a definição de Wronskiano para duas funções e mostrar que ele é diferente de zero.

Passo 2

Definimos o Wronskiano de duas funções f_1 e f_2 como
W(f_1,f_2)(x) = \begin{vmatrix} f_1(x) & f_2(x) \\[6pt] f_1'(x) & f_2'(x) \end{vmatrix}.
No nosso caso, f_1(x)=\cos(x) e f_2(x)=\sin(x). Calculamos suas derivadas:
f_1'(x) = \frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x),
f_2'(x) = \frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x).]

Passo 3

Substituindo em W(\cos(x),\sin(x))(x), temos
W(\cos(x),\sin(x))(x) = \begin{vmatrix} \cos(x) & \sin(x) \\[4pt] -\sin(x) & \cos(x) \end{vmatrix} = \cos(x)\cos(x) - \bigl(\sin(x)\bigr)\bigl(-\sin(x)\bigr) = \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1.]

Passo 4

Como o Wronskiano é identicamente igual a 1, e portanto nunca se anula, concluímos que \cos(x) e \sin(x) são funções linearmente independentes.

Resposta

As funções \cos(x) e \sin(x) são linearmente independentes, pois o Wronskiano vale 1 \neq 0.

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