Verifique a validade das proposições seguintes. Justifique suas respostas. Símbolos: \forall (para todo) e \exists (existe). Em alguns casos a vírgula deve ser lida como “tal que”.
\left(\forall x \in \mathbb{R}, x^{2}=x\right)

Passo 1

O enunciado dá a proposição universal
\forall x\in\mathbb{R},\; x^{2}=x.
O que ele pede: verificar se essa proposição é verdadeira ou falsa e justificar.
Informações relevantes dadas:
  • O domínio considerado é \mathbb{R} (todos os números reais).
  • A propriedade a verificar é a equação x^{2}=x aplicada a cada x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Explicando a lógica do que precisamos fazer (sem resolver ainda). Para uma proposição da forma \forall x\in D,\; P(x):
  • Para provar que ela é verdadeira seria necessário mostrar que P(x) vale para um x arbitrário de D (isto é, para qualquer x do domínio).
  • Para mostrar que ela é falsa basta fornecer um contraexemplo: encontrar um x\in D tal que P(x) seja falsa.
No caso, procurar um contraexemplo é geralmente o caminho mais simples quando se suspeita que a igualdade não vale para todos os reais. Outra abordagem útil é resolver a equação x^{2}=x para ver quais x satisfazem a igualdade — se o conjunto de soluções for estritamente menor que \mathbb{R}, então a proposição universal é falsa.

Passo 3

Vamos resolver a equação \;x^{2}=x\; para ver exatamente quais x a satisfazem. Primeiro colocamos tudo num lado:
x^{2}-x=0.
Fatorando o polinômio pelo fator comum x obtemos
x(x-1)=0.
Pela propriedade do produto nulo (se um produto é zero então pelo menos um dos fatores é zero), as soluções são as que anulam um dos fatores:
x=0 \quad\text{ou}\quad x=1.
Portanto, os únicos números reais que satisfazem x^{2}=x são 0 e 1. Isso já mostra que não é verdade para todos os reais, porque existem muitos x\in\mathbb{R} diferentes de 0 e 1.

Passo 4

Fornecendo um contraexemplo explícito (isso é suficiente para concluir que a proposição universal é falsa). Escolha, por exemplo, x=2 (que pertence a \mathbb{R}). Calcula-se
2^{2}=4\neq 2.
Logo x^{2}=x é falso para x=2. Assim a afirmação \forall x\in\mathbb{R},\;x^{2}=x é falsa.
Observação final para a prova: quando aparece \forall x tente primeiro ver se a propriedade é óbvia para todos os elementos; se não for óbvio, bastará achar um único x que falhe (um contraexemplo). Se for solicitado também determinar todos os x que satisfazem, faça a resolução algébrica como em passo 3.

Resposta

Falsa.

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