Verifique a validade das proposições seguintes. Justifique suas respostas. Símbolos:
(para todo) e
(existe). Em alguns casos a vírgula deve ser lida como “tal que”.
Passo 1
O enunciado dá a proposição universal
O que ele pede: verificar se essa proposição é verdadeira ou falsa e justificar.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- O domínio considerado é
(todos os números reais). - A propriedade a verificar é a equação
aplicada a cada .
Passo 2
Explicando a lógica do que precisamos fazer (sem resolver ainda). Para uma proposição da forma
:
- Para provar que ela é verdadeira seria necessário mostrar que
vale para um arbitrário de (isto é, para qualquer do domínio). - Para mostrar que ela é falsa basta fornecer um contraexemplo: encontrar um
tal que seja falsa.
No caso, procurar um contraexemplo é geralmente o caminho mais simples quando se suspeita que a igualdade não vale para todos os reais. Outra abordagem útil é resolver a equação
para ver quais
satisfazem a igualdade — se o conjunto de soluções for estritamente menor que
, então a proposição universal é falsa.
Passo 3
Vamos resolver a equação
para ver exatamente quais
a satisfazem. Primeiro colocamos tudo num lado:
Fatorando o polinômio pelo fator comum
obtemos
Pela propriedade do produto nulo (se um produto é zero então pelo menos um dos fatores é zero), as soluções são as que anulam um dos fatores:
Portanto, os únicos números reais que satisfazem
são
e
. Isso já mostra que não é verdade para todos os reais, porque existem muitos
diferentes de
e
.
Passo 4
Fornecendo um contraexemplo explícito (isso é suficiente para concluir que a proposição universal é falsa). Escolha, por exemplo,
(que pertence a
). Calcula-se
Logo
é falso para
. Assim a afirmação
é falsa.
Observação final para a prova: quando aparece
tente primeiro ver se a propriedade é óbvia para todos os elementos; se não for óbvio, bastará achar um único
que falhe (um contraexemplo). Se for solicitado também determinar todos os
que satisfazem, faça a resolução algébrica como em passo 3.
Resposta
Falsa.