Verifique a validade das proposições seguintes. Justifique suas respostas. Símbolos: \forall (para todo) e \exists (existe). Em alguns casos a vírgula deve ser lida como “tal que”.
(\forall x \in \mathbb{R}, x+1>x)

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos se a proposição
\forall x \in \mathbb{R},\; x+1>x
é válida (ou seja, verdadeira para todo x\in\mathbb{R}).
Informações dadas:
  • O quantificador é \forall (para todo).
  • O domínio é \mathbb{R} (números reais).
  • A desigualdade a verificar é x+1>x.

Passo 2

Vamos reunir fatos simples sobre os reais que usaremos (sem pular etapas):
  1. Em um corpo ordenado como \mathbb{R}, vale que 1\neq0 (identidades aditiva e multiplicativa são distintas).
  2. Para qualquer real y tem-se y^2\ge 0 (um quadrado real nunca é negativo). Expliquei: se y=0 então y^2=0; se y\neq0 então y^2>0. Isso é uma propriedade básica dos números reais.

Passo 3

A primeira peça chave: mostrar que 1>0.
  • Como 1=1^2 e pelo item (2) temos 1^2\ge 0.
  • Mas 1\neq0, portanto 1^2\neq0. Logo 1^2>0, ou seja 1>0.
    Isso justifica que o número 1 é estritamente positivo.

Passo 4

Agora a prova direta da desigualdade para um x arbitrário. Pegue um x\in\mathbb{R} qualquer (a ideia é provar para um elemento genérico, e então valerá para todo x). Considere a diferença
(x+1)-x.
Fazendo a subtração obtemos
(x+1)-x = 1.
Pelo Passo 3 sabemos que 1>0. Portanto (x+1)-x>0. A partir daí segue a implicação lógica: se a-b>0 então a>b. Aplicando com a=x+1 e b=x concluímos que
x+1>x.

Passo 5

Como x foi escolhido de forma completamente arbitrária em \mathbb{R} e mostramos que a desigualdade vale para esse x, concluímos que a proposição é verdadeira para todo x\in\mathbb{R}. Em linguagem de quantificadores: a afirmação \forall x\in\mathbb{R},\; x+1>x é válida.

Passo 6

Exemplos rápidos para ficar mais tranquilo:
  • Para x=0: 0+1=1>0.
  • Para x=-2: -2+1=-1>-2.
  • Para x=100: 101>100.
    Em todos os casos a diferença é 1>0, sempre positiva — por isso funciona para qualquer x.

Resposta

Verdadeira.

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