Verifique a validade das proposições seguintes. Justifique suas respostas. Símbolos:
(para todo) e
(existe). Em alguns casos a vírgula deve ser lida como “tal que”.
Passo 1
O enunciado pede que verifiquemos se a proposição
é válida (ou seja, verdadeira para todo ).
Informações dadas:
é válida (ou seja, verdadeira para todo
Informações dadas:
- O quantificador é
(para todo). - O domínio é
(números reais). - A desigualdade a verificar é
.
Passo 2
Vamos reunir fatos simples sobre os reais que usaremos (sem pular etapas):
- Em um corpo ordenado como
, vale que (identidades aditiva e multiplicativa são distintas). - Para qualquer real
tem-se (um quadrado real nunca é negativo). Expliquei: se então ; se então . Isso é uma propriedade básica dos números reais.
Passo 3
A primeira peça chave: mostrar que
.
- Como
e pelo item (2) temos . - Mas
, portanto . Logo , ou seja .
Isso justifica que o númeroé estritamente positivo.
Passo 4
Agora a prova direta da desigualdade para um
arbitrário. Pegue um
qualquer (a ideia é provar para um elemento genérico, e então valerá para todo
). Considere a diferença
Fazendo a subtração obtemos
Pelo Passo 3 sabemos que
. Portanto
. A partir daí segue a implicação lógica: se
então
. Aplicando com
e
concluímos que
Passo 5
Como
foi escolhido de forma completamente arbitrária em
e mostramos que a desigualdade vale para esse
, concluímos que a proposição é verdadeira para todo
. Em linguagem de quantificadores: a afirmação
é válida.
Passo 6
Exemplos rápidos para ficar mais tranquilo:
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
Em todos os casos a diferença é, sempre positiva — por isso funciona para qualquer .
Resposta
Verdadeira.