Verifique a validade das proposições seguintes. Justifique suas respostas. Símbolos:
(para todo) e
(existe). Em alguns casos a vírgula deve ser lida como “tal que”.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e o que ele dá.
- O enunciado apresenta a proposição
. - Símbolos:
significa “existe”; é o conjunto dos números reais. - Pergunta: verificar a validade da proposição (isto é, determinar se ela é verdadeira ou falsa) e justificar a resposta.
Passo 2
Entendendo o que a proposição afirma (estratégia).
- A proposição
afirma que "existe pelo menos um número real tal que ". - Para provar que essa afirmação é verdadeira basta encontrar um número real que satisfaça a igualdade.
- Para provar que é falsa basta mostrar que nenhum número real satisfaz a igualdade — uma maneira direta é assumir que um
qualquer satisfaz a igualdade e deduzir uma contradição (ou transformar a igualdade em uma forma impossível).
Passo 3
Manipulação algébrica passo a passo (método: isolar e simplificar).
- Comece assumindo que existe um
com . - Podemos subtrair
de ambos os lados da igualdade (operações algébricas válidas no corpo dos reais). Escrevendo isso com cuidado:
- Agora simplifica-se cada lado usando associatividade e cancelamento:
Passo 4
Interpretação da contradição e conclusão lógica.
- Obtivemos a igualdade
. Nos números reais essa igualdade é falsa: e são elementos distintos de (por construção dos inteiros e sua inclusão em , é e não é igual a , a identidade aditiva). - Como a suposição de existência de um
que satisfaz levou a uma contradição, concluímos que não existe tal em . - Em linguagem lógica isso significa que a proposição existencial é falsa; equivalentemente vale a forma universal negativa:
Passo 5
Exemplos rápidos para fixar a ideia (uma intuição prática).
- Comparando com casos simples: a igualdade
é verdadeira para todo (pois é o elemento neutro aditivo), enquanto exige que o incremento “desapareça”, o que não acontece em nenhum real. - Portanto a diferença entre
(que preserva todos os ) e (que desloca todos os por ) deixa claro por que não há solução.
Resposta
A proposição é falsa.