Verifique a validade das proposições seguintes. Justifique suas respostas. Símbolos: \forall (para todo) e \exists (existe). Em alguns casos a vírgula deve ser lida como “tal que”.
(\exists x \in \mathbb{R}, x+2=x)

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e o que ele dá.
  • O enunciado apresenta a proposição \exists x \in \mathbb{R},\; x+2=x.
  • Símbolos: \exists significa “existe”; \mathbb{R} é o conjunto dos números reais.
  • Pergunta: verificar a validade da proposição (isto é, determinar se ela é verdadeira ou falsa) e justificar a resposta.

Passo 2

Entendendo o que a proposição afirma (estratégia).
  • A proposição \exists x \in \mathbb{R},\; x+2=x afirma que "existe pelo menos um número real x tal que x+2=x".
  • Para provar que essa afirmação é verdadeira basta encontrar um número real que satisfaça a igualdade.
  • Para provar que é falsa basta mostrar que nenhum número real satisfaz a igualdade — uma maneira direta é assumir que um x qualquer satisfaz a igualdade e deduzir uma contradição (ou transformar a igualdade em uma forma impossível).

Passo 3

Manipulação algébrica passo a passo (método: isolar e simplificar).
  • Comece assumindo que existe um x\in\mathbb{R} com x+2=x.
  • Podemos subtrair x de ambos os lados da igualdade (operações algébricas válidas no corpo dos reais). Escrevendo isso com cuidado:
x+2=x
(x+2)-x = x-x
  • Agora simplifica-se cada lado usando associatividade e cancelamento:
2 = 0.

Passo 4

Interpretação da contradição e conclusão lógica.
  • Obtivemos a igualdade \,2=0. Nos números reais essa igualdade é falsa: 2 e 0 são elementos distintos de \mathbb{R} (por construção dos inteiros e sua inclusão em \mathbb{R}, 2 é 1+1 e não é igual a 0, a identidade aditiva).
  • Como a suposição de existência de um x que satisfaz x+2=x levou a uma contradição, concluímos que não existe tal x em \mathbb{R}.
  • Em linguagem lógica isso significa que a proposição existencial é falsa; equivalentemente vale a forma universal negativa:
\forall x\in\mathbb{R},\; x+2 \neq x.

Passo 5

Exemplos rápidos para fixar a ideia (uma intuição prática).
  • Comparando com casos simples: a igualdade x+0=x é verdadeira para todo x\in\mathbb{R} (pois 0 é o elemento neutro aditivo), enquanto x+2=x exige que o incremento 2 “desapareça”, o que não acontece em nenhum real.
  • Portanto a diferença entre +0 (que preserva todos os x) e +2 (que desloca todos os x por 2) deixa claro por que não há solução.

Resposta

A proposição é falsa.

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