Verifique a validade dos quantificadores a seguir para a proposição p(x): 2 x^{2}-5 x+ 2=0 no universo dos números inteiros.
(\exists x)(\sim p(x))

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a verdade da fórmula \displaystyle (\exists x)(\neg p(x))
no universo dos inteiros \mathbb{Z}, em que
p(x)\colon 2x^{2}-5x+2=0.
Aqui usamos o quantificador existencial e a negação de p(x). A interpretação de \exists x(\neg p(x))
é “existe pelo menos um inteiro x tal que p(x) seja falsa”, ou seja,
2x^2 - 5x + 2 \neq 0.

Passo 2

Para entender onde p(x) é verdadeira, resolvemos a equação
2x^{2}-5x+2=0.
Usamos a fórmula de Bhaskara. Primeiro calculamos o discriminante:
\Delta = (-5)^{2} - 4\cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9.
Logo as raízes são
x = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2\cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4}.

Passo 3

As soluções são
x = \frac{5+3}{4} = 2 \quad\text{e}\quad x = \frac{5-3}{4} = \tfrac12.
No universo dos inteiros \mathbb{Z}, apenas x=2 é raiz inteira. Portanto p(x) é verdadeira só para x=2.

Passo 4

Em todos os demais inteiros temos
2x^{2}-5x+2 \neq 0,
ou seja, \neg p(x) é verdadeira para qualquer x\in\mathbb{Z} com x\neq2. Basta, por exemplo, tomar x=0:
2\cdot0^2 -5\cdot0 +2 = 2 \neq 0,
logo \neg p(0) é verdadeira.

Resposta

A proposição \exists x(\neg p(x)) é verdadeira, pois existe pelo menos um inteiro (por exemplo x=0) que não satisfaz 2x^{2}-5x+2=0.

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