Verifique a validade dos seguintes argumentos, utilizando o tableaux.
Se o alarme dispara, então há invasão ou defeito no sistema. Se não há defeito, então a manutenção foi feita. A manutenção não foi feita. Logo, o alarme não disparou.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos um argumento em lógica proposicional com as seguintes fórmulas (onde A = “o alarme dispara”, I = “há invasão”, D = “há defeito no sistema” e M = “a manutenção foi feita”):
A \to (I \lor D),
\neg D \to M, \neg M. Queremos verificar se dessas premissas se segue \neg A. Pelo método de tableaux, assumimos também a negação da conclusão, ou seja, A, e mostramos se o conjunto
\{\,A \to (I \lor D),\;\neg D \to M,\;\neg M,\;A\}
é insatisfatível (todas as ramificações fecham) ou satisfatível (existe ramo aberto).

Passo 2

Na raiz do tableaux colocamos todas as fórmulas:
1.\;A \to (I \lor D)
2.\;\neg D \to M
3.\;\neg M 4.\;A

Passo 3

Expandimos a fórmula 1.\;A \to (I \lor D), que é uma beta (implicação), em duas ramificações:
  • Ramo (a): \neg A
  • Ramo (b): I \lor D
    As demais fórmulas 2., 3., 4. se repetem em ambos os ramos.

Passo 4

No ramo (a) temos simultaneamente A (fórmula 4) e \neg A, o que gera uma contradição. Logo, o ramo (a) fecha.

Passo 5

No ramo (b) temos agora I \lor D. Expandimos esse disjunção em dois sub-ramos:
  • Ramo (b1): I
  • Ramo (b2): D
Em todos eles persistem as fórmulas 2.\;\neg D \to M, 3.\;\neg M e 4.\;A.

Passo 6

No ramo (b1) (onde temos I), expandimos a fórmula 2.\;\neg D \to M (beta) em:
  • Sub-ramo (b1.1): D
  • Sub-ramo (b1.2): M
Em (b1.2) aparece M e também \neg M (fórmula 3), fechando esse sub-ramo.

Passo 7

Examinando o sub-ramo (b1.1), as fórmulas presentes são
I,\;D,\;A,\;\neg M
não há mais fórmulas a expandir e nenhuma contradição. Portanto esse ramo fica aberto.

Passo 8

Como existe pelo menos um ramo aberto, o conjunto
\{\,A \to (I \lor D),\;\neg D \to M,\;\neg M,\;A\}
é satisfatível. Logo, as premissas não implicam \neg A: o tableaux não fecha totalmente.

Resposta

O argumento é inválido. Um contra-exemplo (do ramo aberto) é dado por A verdadeiro, D verdadeiro, M falso e I falso, pois com essa atribuição todas as premissas são verdadeiras, mas \neg A é falsa.

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