Verifique a validade dos seguintes argumentos, utilizando o tableaux.
Se o aluno estuda, ele passa na prova. Se ele não passar, então ele fica de recuperação. O aluno ficou de recuperação. Logo, ele não estudou.
Passo 1
Vamos traduzir o argumento em linguagem proposicional e explicar a técnica do tableaux semântico que vamos usar.
Definimos as proposições: E: “o aluno estuda” P: “o aluno passa na prova” R: “o aluno fica de recuperação”
As premissas do enunciado são E \to P \neg P \to R R e queremos verificar se delas segue \neg E. No método do tableaux, colocamos todas as premissas e a negação da conclusão e tentamos construir uma árvore de vida (tableaux): se ao final houver algum ramo sem contradição, o conjunto é satisfatível e o argumento é inválido.
Passo 2
Escrevemos o conjunto de fórmulas que vão no topo do tableaux:
E \to P,\quad \neg P \to R,\quad R,\quad \underbrace{E}_{\text{negação de }\neg E}
Passo 3
Expandimos a primeira fórmula E \to P, que equivale a \neg E \lor P. Usamos a regra do “OU” com dois ramos:
Ramo 1: \neg E
Ramo 2: P
No Ramo 1 já temos \neg E e também E, gerando a contradição \{E,\neg E\}, então esse ramo fecha.
No Ramo 2 ficamos com \{P,\;\neg P\to R,\;R,\;E\}.
Passo 4
No Ramo 2, expandimos \neg P \to R, que equivale a \neg(\neg P)\lor R, isto é, P\lor R. Novamente fazemos dois sub-ramos:
Ramo 2.1: P
Ramo 2.2: R
Em cada um:
– Ramo 2.1 já tem P, não gera contradição com \{P,R,E\}.
– Ramo 2.2 já tem R, não gera contradição com \{P,R,E\}.
Portanto ambos os sub-ramos permanecem abertos.
Resposta
Como existe pelo menos um ramo aberto no tableaux, o conjunto de premissas mais a negação da conclusão é satisfatível. Logo, o argumento não é válido.