Verifique a validade dos seguintes argumentos, utilizando o tableaux.
Se o alarme dispara, então há invasão ou defeito no sistema. Se não há defeito, então a manutenção foi feita. A manutenção não foi feita. Logo, o alarme não disparou.
Se o alarme dispara, então há invasão ou defeito no sistema. Se não há defeito, então a manutenção foi feita. A manutenção não foi feita. Logo, o alarme não disparou.
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos um argumento em lógica proposicional com as seguintes fórmulas (onde
= “o alarme dispara”,
= “há invasão”,
= “há defeito no sistema” e
= “a manutenção foi feita”):
é insatisfatível (todas as ramificações fecham) ou satisfatível (existe ramo aberto).
Passo 2
Na raiz do tableaux colocamos todas as fórmulas:
Passo 3
Expandimos a fórmula
, que é uma beta (implicação), em duas ramificações:
- Ramo (a):
- Ramo (b):
As demais fórmulas, , se repetem em ambos os ramos.
Passo 4
No ramo (a) temos simultaneamente
(fórmula 4) e
, o que gera uma contradição. Logo, o ramo (a) fecha.
Passo 5
No ramo (b) temos agora
. Expandimos esse disjunção em dois sub-ramos:
- Ramo (b1):
- Ramo (b2):
Em todos eles persistem as fórmulas
,
e
.
Passo 6
No ramo (b1) (onde temos
), expandimos a fórmula
(beta) em:
- Sub-ramo (b1.1):
- Sub-ramo (b1.2):
Em (b1.2) aparece
e também
(fórmula 3), fechando esse sub-ramo.
Passo 7
Examinando o sub-ramo (b1.1), as fórmulas presentes são
não há mais fórmulas a expandir e nenhuma contradição. Portanto esse ramo fica aberto.
Passo 8
Como existe pelo menos um ramo aberto, o conjunto
é satisfatível. Logo, as premissas não implicam
: o tableaux não fecha totalmente.
Resposta
O argumento é inválido. Um contra-exemplo (do ramo aberto) é dado por
verdadeiro,
verdadeiro,
falso e
falso, pois com essa atribuição todas as premissas são verdadeiras, mas
é falsa.