Verifique se \vec{u} e \vec{v} são ortogonais (perpendiculares) nos seguintes casos:
\vec{u}=(-1,-3) e \vec{v}=(3,-1);

Passo 1

O enunciado dá os dois vetores no plano e pede para verificar se eles são ortogonais (perpendiculares). Dados:
  • \vec{u}=(-1,-3)
  • \vec{v}=(3,-1)
A pergunta é: \vec{u} e \vec{v} são ortogonais?

Passo 2

Definição e ferramenta que vamos usar (mini-aula): dois vetores no plano são ortogonais se o produto escalar (produto interno) entre eles for zero. Para vetores em \mathbb{R}^2 com componentes \vec{u}=(u_1,u_2) e \vec{v}=(v_1,v_2), o produto escalar é dado por
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1 v_1 + u_2 v_2.
Aqui:
  • u_1 e u_2 são as componentes do vetor \vec{u};
  • v_1 e v_2 são as componentes do vetor \vec{v}.
Geometricamente, vale também a fórmula
\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|\cos\theta,
onde \|\vec{u}\| e \|\vec{v}\| são os comprimentos (normas) dos vetores e \theta é o ângulo entre eles. Se \vec{u}\cdot\vec{v}=0 e nenhum dos vetores é o vetor nulo, então \cos\theta=0 e \theta=90^\circ: ou seja, são perpendiculares.

Passo 3

Aplicar a fórmula do produto escalar aos vetores dados. Identificando componentes:
  • Para \vec{u}=(-1,-3): u_1=-1, u_2=-3.
  • Para \vec{v}=(3,-1): v_1=3, v_2=-1.
Calculemos
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1 v_1 + u_2 v_2 = (-1)\cdot 3 + (-3)\cdot(-1).
Fazendo as multiplicações passo a passo:
(-1)\cdot 3 = -3, \qquad (-3)\cdot(-1)=+3.
Somando:
\vec{u}\cdot\vec{v} = -3 + 3 = 0.

Passo 4

Verificação adicional (para garantir que o caso não é degenerado): calculemos as normas para confirmar que nenhum dos vetores é o vetor nulo.
\|\vec{u}\|=\sqrt{(-1)^2+(-3)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}\neq 0,
\|\vec{v}\|=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\neq 0.
Como \vec{u}\cdot\vec{v}=0 e \|\vec{u}\|,\|\vec{v}\|\neq 0, pela relação \vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta segue que \cos\theta=0, isto é, o ângulo entre os vetores é 90^\circ.

Resposta

Sim. \vec{u} e \vec{v} são ortogonais ( \vec{u}\cdot\vec{v}=0).

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