Verifique se
e
são ortogonais (perpendiculares) nos seguintes casos:
e
;
Passo 1
O enunciado dá os dois vetores no plano e pede para verificar se eles são ortogonais (perpendiculares). Dados:
A pergunta é:
e
são ortogonais?
Passo 2
Definição e ferramenta que vamos usar (mini-aula): dois vetores no plano são ortogonais se o produto escalar (produto interno) entre eles for zero. Para vetores em
com componentes
e
, o produto escalar é dado por
Aqui:
-
e são as componentes do vetor ; -
e são as componentes do vetor .
Geometricamente, vale também a fórmula
onde
e
são os comprimentos (normas) dos vetores e
é o ângulo entre eles. Se
e nenhum dos vetores é o vetor nulo, então
e
: ou seja, são perpendiculares.
Passo 3
Aplicar a fórmula do produto escalar aos vetores dados. Identificando componentes:
- Para
: , . - Para
: , .
Calculemos
Fazendo as multiplicações passo a passo:
Somando:
Passo 4
Verificação adicional (para garantir que o caso não é degenerado): calculemos as normas para confirmar que nenhum dos vetores é o vetor nulo.
Como
e
, pela relação
segue que
, isto é, o ângulo entre os vetores é
.
Resposta
Sim.
e
são ortogonais (
).