Determine o ângulo entre
e
nos seguintes casos:
e
;
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Vetores fornecidos:
-
- O enunciado pede: determinar o ângulo entre
e . - Observação implícita:
e são os vetores unitários (normalizados) de e , isto é,
e .
Passo 2
Calcular as normas (comprimentos) dos vetores
e
.
- Definição: para um vetor
, a norma é . Aqui cada símbolo significa: -
são as componentes do vetor; -
é o comprimento do vetor.
-
- Aplicando a definição:
Passo 3
Calcular explicitamente os vetores unitários
e
.
- Definição:
significa dividir cada componente de por . - Para
e : - Para
e :
Passo 4
Lembrar a relação entre produto escalar e ângulo (fórmula que vamos usar) e explicar cada termo.
- Fórmula geométrica do produto escalar para vetores
e em : onde: -
é o produto escalar (soma dos produtos das componentes); -
e são as normas; -
é o ângulo entre e (valor em ); -
é o cosseno desse ângulo.
-
- Para vetores unitários
e temos , então a fórmula simplifica para Ou seja, o produto escalar dos unitários é exatamente o cosseno do ângulo entre eles — isso facilita bastante.
Passo 5
Calcular o produto escalar
e obter
.
- Produto escalar em coordenadas: para
e , - Aplicando às componentes que encontramos:
- Pela observação do passo anterior, isso dá
Passo 6
Determinar o ângulo
a partir de
.
- Para encontrar
usa-se a função arco cosseno: - Conhecimento trigonométrico básico (tabela de ângulos notáveis):
. Portanto o ângulo principal entre e que satisfaz é radianos, que equivale a .