Determine o ângulo entre overrightarrow{u^{\prime}} e overrightarrow{v^{\prime}} nos seguintes casos:
\vec{u}=(3,0) e \vec{v}=(1, \sqrt{3});

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Vetores fornecidos:
    • \vec{u}=(3,0)
    • \vec{v}=(1,\sqrt{3})
  • O enunciado pede: determinar o ângulo entre \overrightarrow{u^{\prime}} e \overrightarrow{v^{\prime}}.
  • Observação implícita: \overrightarrow{u^{\prime}} e \overrightarrow{v^{\prime}} são os vetores unitários (normalizados) de \vec{u} e \vec{v}, isto é,
    \overrightarrow{u^{\prime}}=\dfrac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|} e \overrightarrow{v^{\prime}}=\dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}.

Passo 2

Calcular as normas (comprimentos) dos vetores \vec{u} e \vec{v}.
  • Definição: para um vetor \vec{w}=(w_1,w_2), a norma é \|\vec{w}\|=\sqrt{w_1^2+w_2^2}. Aqui cada símbolo significa:
    • w_1,w_2 são as componentes do vetor;
    • \|\vec{w}\| é o comprimento do vetor.
  • Aplicando a definição: \|\vec{u}\|=\sqrt{3^2+0^2}=\sqrt{9}=3.
\|\vec{v}\|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2.

Passo 3

Calcular explicitamente os vetores unitários \overrightarrow{u^{\prime}} e \overrightarrow{v^{\prime}}.
  • Definição: \overrightarrow{u^{\prime}}=\dfrac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|} significa dividir cada componente de \vec{u} por \|\vec{u}\|.
  • Para \vec{u}=(3,0) e \|\vec{u}\|=3: \overrightarrow{u^{\prime}}=\left(\dfrac{3}{3},\dfrac{0}{3}\right)=(1,0).
  • Para \vec{v}=(1,\sqrt{3}) e \|\vec{v}\|=2: \overrightarrow{v^{\prime}}=\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right).

Passo 4

Lembrar a relação entre produto escalar e ângulo (fórmula que vamos usar) e explicar cada termo.
  • Fórmula geométrica do produto escalar para vetores \vec{a} e \vec{b} em \mathbb{R}^2: \vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\cos\theta,onde:
    • \vec{a}\cdot\vec{b} é o produto escalar (soma dos produtos das componentes);
    • \|\vec{a}\| e \|\vec{b}\| são as normas;
    • \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b} (valor em [0,\pi]);
    • \cos\theta é o cosseno desse ângulo.
  • Para vetores unitários \overrightarrow{u^{\prime}} e \overrightarrow{v^{\prime}} temos \|\overrightarrow{u^{\prime}}\|=\|\overrightarrow{v^{\prime}}\|=1, então a fórmula simplifica para \overrightarrow{u^{\prime}}\cdot\overrightarrow{v^{\prime}}=\cos\theta.Ou seja, o produto escalar dos unitários é exatamente o cosseno do ângulo entre eles — isso facilita bastante.

Passo 5

Calcular o produto escalar \overrightarrow{u^{\prime}}\cdot\overrightarrow{v^{\prime}} e obter \cos\theta.
  • Produto escalar em coordenadas: para (a_1,a_2) e (b_1,b_2), (a_1,a_2)\cdot(b_1,b_2)=a_1b_1+a_2b_2.
  • Aplicando às componentes que encontramos: \overrightarrow{u^{\prime}}\cdot\overrightarrow{v^{\prime}}=(1,0)\cdot\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) =1\cdot\dfrac{1}{2}+0\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{1}{2}.
  • Pela observação do passo anterior, isso dá \cos\theta=\dfrac{1}{2}.

Passo 6

Determinar o ângulo \theta a partir de \cos\theta=\tfrac{1}{2}.
  • Para encontrar \theta usa-se a função arco cosseno: \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{1}{2}\right).
  • Conhecimento trigonométrico básico (tabela de ângulos notáveis): \cos\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{1}{2}. Portanto o ângulo principal entre 0 e \pi que satisfaz \cos\theta=\tfrac{1}{2} é \theta=\tfrac{\pi}{3} radianos, que equivale a 60^\circ.

Resposta

\theta=\dfrac{\pi}{3} \quad ou \quad \theta=60^\circ

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