Verifique se
e
são ortogonais (perpendiculares) nos seguintes casos:
e
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se os vetores dados são ortogonais (perpendiculares). As informações fornecidas são:
Queremos responder se
e
são ortogonais (sim ou não).
Passo 2
Regra importante (fórmula) que vamos usar: em
(ou
) dois vetores são ortogonais se, e somente se, o produto escalar (dot product) entre eles for zero.
Vou explicar o produto escalar de forma bem clara: se
e
, então o produto escalar é definido por
Aqui
e
são as componentes (coordenadas) do vetor
, e
e
são as componentes do vetor
. O procedimento é multiplicar componente a componente e somar.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso concreto: identificamos as componentes
Substituindo na expressão do produto escalar:
Passo 4
Calcule cada termo separadamente (vou mostrar devagar para você poder copiar na prova):
Passo 5
Agora some os termos:
Passo 6
Conclusão a partir do resultado: como o produto escalar é zero, pela propriedade que vimos no Passo 2, os vetores são ortogonais. Em palavras mais tranquilas: as multiplicações das componentes se cancelaram perfeitamente, dando zero — isso significa que os vetores formam um ângulo de
entre si.
Passo 7
Comentário adicional (cheque alternativo e intuição geométrica): outra maneira rápida de checar no plano é observar as inclinações (coeficientes angulares) das retas que os vetores representam a partir da origem. O coeficiente angular de
é
e de
é
. O produto
, o que também indica retas perpendiculares. Exemplo simples de reforço:
e
têm produto escalar
, logo são ortogonais — é o caso clássico dos eixos cartesianos.
Resposta
Sim,
e
são ortogonais.