Verifique se \vec{u} e \vec{v} são ortogonais (perpendiculares) nos seguintes casos:
\vec{u}=(3,2) e \vec{v}=(-4,6);

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores dados são ortogonais (perpendiculares). As informações fornecidas são:
  • \vec{u} = (3,2)
  • \vec{v} = (-4,6)
Queremos responder se \vec{u} e \vec{v} são ortogonais (sim ou não).

Passo 2

Regra importante (fórmula) que vamos usar: em \mathbb{R}^2 (ou \mathbb{R}^n) dois vetores são ortogonais se, e somente se, o produto escalar (dot product) entre eles for zero.
Vou explicar o produto escalar de forma bem clara: se \vec{u} = (u_1,u_2) e \vec{v} = (v_1,v_2), então o produto escalar é definido por
\vec{u}\cdot\vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2.
Aqui u_1 e u_2 são as componentes (coordenadas) do vetor \vec{u}, e v_1 e v_2 são as componentes do vetor \vec{v}. O procedimento é multiplicar componente a componente e somar.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso concreto: identificamos as componentes
u_1=3,\quad u_2=2,\quad v_1=-4,\quad v_2=6.
Substituindo na expressão do produto escalar:
\vec{u}\cdot\vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 = 3\cdot(-4) + 2\cdot 6.

Passo 4

Calcule cada termo separadamente (vou mostrar devagar para você poder copiar na prova):
3\cdot(-4) = -12, \qquad 2\cdot 6 = 12.

Passo 5

Agora some os termos:
\vec{u}\cdot\vec{v} = -12 + 12 = 0.

Passo 6

Conclusão a partir do resultado: como o produto escalar é zero, pela propriedade que vimos no Passo 2, os vetores são ortogonais. Em palavras mais tranquilas: as multiplicações das componentes se cancelaram perfeitamente, dando zero — isso significa que os vetores formam um ângulo de 90^\circ entre si.

Passo 7

Comentário adicional (cheque alternativo e intuição geométrica): outra maneira rápida de checar no plano é observar as inclinações (coeficientes angulares) das retas que os vetores representam a partir da origem. O coeficiente angular de \vec{u} é m_u=\dfrac{2}{3} e de \vec{v} é m_v=\dfrac{6}{-4}=-\dfrac{3}{2}. O produto m_u m_v = \dfrac{2}{3}\cdot\left(-\dfrac{3}{2}\right)=-1, o que também indica retas perpendiculares. Exemplo simples de reforço: (1,0) e (0,1) têm produto escalar 0, logo são ortogonais — é o caso clássico dos eixos cartesianos.

Resposta

Sim, \vec{u} e \vec{v} são ortogonais.

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