Verifique se é verdadeiro ou falso. JUSTIFIQUE sua resposta.
Existe um função f com derivadas parciais de segunda ordem contínuas, tais que f_x(x, y) = x + y^2 e fy(x, y) = x - y^2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão diz que existe uma função que tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas, e nos fornece as derivadas parciais de primeira ordem:
A gente precisa verificar se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos precisar usar o teorema de igualdade das derivadas mistas, que diz que, se as segundas derivadas parciais de uma função são contínuas, então:
Ou seja, a derivada da derivada parcial em depois em deve ser igual à derivada da derivada parcial em depois em . Se isso acontecer, a função existe; caso contrário, não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular , que é a derivada parcial de em relação a . Sabemos que:
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular , que é a derivada parcial de em relação a . Sabemos que:
Então,

Passo 4

Agora que temos e , vamos comparar esses resultados. Para que a função exista com as derivadas parciais fornecidas, precisamos que para todos os valores de e .
No nosso caso:
Isso só é verdadeiro quando , mas a igualdade precisa valer para todos os , o que não acontece.

Resposta

Falso. As derivadas mistas e não são iguais para todos os , então tal função não existe.

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