Determine os pontos de máximo e mínimo locais e pontos de sela de f(x, y) = sen(x) sen(y), -pi < x < pi, -pi < y < pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos de máximo, mínimo local e pontos de sela da função no intervalo e . Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente o método de encontrar pontos críticos e analisar a curvatura da função nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Ponto crítico ocorre onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Vamos calcular:

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde essas derivadas parciais são iguais a zero:
Isso significa que ou ou , e simultaneamente ou .

Passo 4

Vamos resolver essas equações:
  1. Se , então .
  2. Se , então .
  3. Se , então .
  4. Se , então .
Combinando essas soluções, temos os seguintes pontos críticos:

Passo 5

Agora que temos os pontos críticos, vamos determinar se cada um é um ponto de máximo, mínimo ou sela. Para isso, usamos o teste da segunda derivada. Vamos calcular as segundas derivadas:

Passo 6

Calculamos o determinante da matriz Hessiana:
Dependendo do valor de e de :
  • Se e : máximo local.
  • Se e : mínimo local.
  • Se : ponto de sela.
  • Se : teste inconclusivo.

Passo 7

Vamos analisar cada ponto crítico:
  1. Ponto (0, 0):
    • , → Teste inconclusivo.
  2. Pontos e :
    • , → Teste inconclusivo.
  3. Pontos e :
    • , → Teste inconclusivo.
  4. Pontos , , , e :
    • , e Máximo local.

Resposta

Os pontos de máximo local de são , , e . Não há pontos de mínimo local nem pontos de sela dentro do intervalo dado.

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