Verifique se é verdadeiro ou falso. JUSTIFIQUE sua resposta.
fy(a, b)=lim y b f(a, y)-f(a, b)y-b.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a seguinte expressão é verdadeira ou falsa:
fy(a, b)=lim y b f(a, y)-f(a, b)y-b
Aqui, estamos lidando com derivadas parciais de funções de duas variáveis. Precisamos entender o que é uma derivada parcial e como ela é definida para resolver essa questão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Em funções de várias variáveis, como fy(a, b) = lim h 0 f(a, b+h) - f(a, b)h , a derivada parcial em relação a uma das variáveis, digamos , mede como a função muda quando alteramos mantendo fixo.
A definição formal da derivada parcial de em relação a no ponto é:

Passo 3

Agora, vamos comparar essa definição com a expressão dada no exercício:
fy(a, b)=lim y b f(a, y)-f(a, b)y-b
Perceba que na nossa definição padrão, usamos tendendo a 0, representando uma pequena variação. No exercício, usamos tendendo a , o que essencialmente significa que está se aproximando de por meio de pequenas variações, similar a .

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para deixar mais claro. Seja lim y b f(a, y)-f(a, b)y-b = lim h 0 f(a, b+h)-f(a, b)h . Então, quando tende a , tende a 0. Substituindo na expressão do exercício:
Viu só? Essa é exatamente a definição da derivada parcial de em relação a no ponto .

Passo 5

Portanto, a expressão dada no exercício está correta e corresponde à definição padrão da derivada parcial de em relação a no ponto .

Resposta

Verdadeiro. A expressão apresentada corresponde à definição da derivada parcial de em relação a no ponto .

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