\frac{d}{d t}\binom{x}{y}=\left(\begin{array}{rr}3 & -7 \\\\ 1 & 1\end{array}\right)\binom{x}{y}+\binom{4}{8} \operatorname{sen} t+\binom{t-4}{2 t+1} e^{4 t}

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear não-homogêneo de primeira ordem
\frac{d}{dt}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix}3 & -7\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}}_{A} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}4\\[4pt]8\end{pmatrix}\sin t + \begin{pmatrix}t-4\\[4pt]2t+1\end{pmatrix}e^{4t}.
O que nos pedem (implícito) é encontrar a solução geral \begin{pmatrix}x(t)\\[4pt]y(t)\end{pmatrix} deste sistema.
Informações relevantes dadas:
  • A matriz homogênea é A=\begin{pmatrix}3 & -7\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
  • Forçamento 1: \begin{pmatrix}4\\[4pt]8\end{pmatrix}\sin t (senoidal).
  • Forçamento 2: \begin{pmatrix}t-4\\[4pt]2t+1\end{pmatrix}e^{4t} (polinomial em t multiplicado por e^{4t}).
  • Vamos procurar a solução geral como soma da solução geral do sistema homogêneo e de uma solução particular (linearidade).]

Passo 2

Resolver o sistema homogêneo \dfrac{dX}{dt}=AX. Primeiro encontramos autovalores de A.
A característica é
\det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix}3-\lambda & -7\\[4pt]1 & 1-\lambda\end{vmatrix}=(3-\lambda)(1-\lambda)+7=\lambda^{2}-4\lambda+10.
As raízes são
\lambda= \frac{4\pm\sqrt{16-40}}{2}=2\pm i\sqrt{6}.
Temos autovalores complexos conjugados \lambda=2\pm i\omega com \omega=\sqrt{6}. Para isso a solução homogênea será uma combinação de funções exponenciais amortecidas por e^{2t} multiplicadas por seno e cosseno de \omega t.
Agora calculamos um autovetor para \lambda=2+i\omega. Resolva (A-(2+i\omega)I)v=0:
\begin{pmatrix}1-i\omega & -7\\[4pt]1 & -1-i\omega\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\[4pt]v_2\end{pmatrix}=0.
Da primeira equação (1-i\omega)v_1-7v_2=0. Tomando v_2=1 obtemos
v_1=\frac{7}{1-i\omega}.
Racionalizando \dfrac{1}{1-i\omega}=\dfrac{1+i\omega}{1+\omega^{2}}=\dfrac{1+i\omega}{7} (pois \omega^{2}=6), logo v_1=1+i\omega. Portanto um autovetor é
v=\begin{pmatrix}1+i\omega\\[4pt]1\end{pmatrix}.
A solução real geral do homogêneo é (usando a parte real e imaginária de e^{(2+i\omega)t}v):
X_h(t)=C_1 e^{2t}\begin{pmatrix}\cos(\omega t)-\omega\sin(\omega t)\\[4pt]\cos(\omega t)\end{pmatrix} + C_2 e^{2t}\begin{pmatrix}\sin(\omega t)+\omega\cos(\omega t)\\[4pt]\sin(\omega t)\end{pmatrix},
onde \omega=\sqrt{6} e C_1,C_2 são constantes reais.
(Explicação curta: escrevemos v e^{i\omega t}=(1+i\omega)(\cos\omega t+i\sin\omega t) e separamos parte real e imaginária; então multiplicamos por e^{2t}.)]

Passo 3

Estratégia para a parte particular: pela linearidade, procuramos uma solução particular como soma de duas partes
X_p(t)=X_{p,1}(t)+X_{p,2}(t),
onde X_{p,1} atende ao forçamento seno e X_{p,2} atende ao termo com e^{4t}. Usaremos método dos coeficientes indeterminados: supor formas para X_{p,1} e X_{p,2} com incógnitas constantes vetoriais e resolver as equações algébricas que surgem.

Passo 4

Parte particular para o termo senoidal [ \begin{pmatrix}4\\[4pt]8\end{pmatrix}\sin t).
Proposta: procurar
X_{p,1}(t)=a\cos t + b\sin t,
onde a=\begin{pmatrix}a_1\\[4pt]a_2\end{pmatrix} e b=\begin{pmatrix}b_1\\[4pt]b_2\end{pmatrix} são vetores constantes a determinar.
Derivada:
X_{p,1}'(t)=-a\sin t + b\cos t.
Substituindo na equação dá
-a\sin t + b\cos t = A(a\cos t + b\sin t) + \begin{pmatrix}4\\[4pt]8\end{pmatrix}\sin t.
Agrupando coeficientes de \cos t e \sin t obtemos duas equações vetoriais:
\cos t:\qquad b = A a,
\sin t:\qquad -a = A b + \begin{pmatrix}4\\[4pt]8\end{pmatrix}.
Da primeira b=Aa. Substituindo na segunda:
-a = A(Aa) + \begin{pmatrix}4\\[4pt]8\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad (I + A^{2})a = -\begin{pmatrix}4\\[4pt]8\end{pmatrix}.
Calcule A^{2}. Multiplicando
A^{2}=\begin{pmatrix}3 & -7\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}^{2} =\begin{pmatrix}2 & -28\\[4pt]4 & -6\end{pmatrix}.
Então
I+A^{2}=\begin{pmatrix}3 & -28\\[4pt]4 & -5\end{pmatrix}.
Resolvendo (I+A^{2})a=-\begin{pmatrix}4\\[4pt]8\end{pmatrix}=-\! \begin{pmatrix}4\\[4pt]8\end{pmatrix} temos o sistema
\begin{cases} 3a_1-28a_2=-4,\\[4pt] 4a_1-5a_2=-8. \end{cases}
Resolvendo (eliminação): da segunda a_1=-2+\tfrac{5}{4}a_2\]. Substituindo na primeira resulta \(a_2=-\dfrac{8}{97} e então a_1=-\dfrac{204}{97}. Logo
a=\begin{pmatrix}-\dfrac{204}{97}\\[6pt]-\dfrac{8}{97}\end{pmatrix}.
Então b=Aa:
b=\begin{pmatrix}-\dfrac{556}{97}\\[6pt]-\dfrac{212}{97}\end{pmatrix}.
Portanto a solução particular para a parte senoidal é
X_{p,1}(t)=\begin{pmatrix}-\dfrac{204}{97}\\[6pt]-\dfrac{8}{97}\end{pmatrix}\cos t + \begin{pmatrix}-\dfrac{556}{97}\\[6pt]-\dfrac{212}{97}\end{pmatrix}\sin t.]

Passo 5

Parte particular para o termo [ \begin{pmatrix}t-4\\[4pt]2t+1\end{pmatrix}e^{4t}).
Observação sobre ressonância: os autovalores do sistema homogêneo têm parte real 2, logo a exponencial e^{4t} não coincide com modos homogêneos e^{2t} — não há ressonância com e^{4t}. Assim podemos tentar uma solução da forma
X_{p,2}(t)=e^{4t}(u\,t+v),
onde u=\begin{pmatrix}u_1\\[4pt]u_2\end{pmatrix} e v=\begin{pmatrix}v_1\\[4pt]v_2\end{pmatrix} são vetores constantes a determinar (grau 1 em t porque o forçamento tem grau 1).
Derivada:
X_{p,2}'(t)=e^{4t}\big(4(u t+v)+u\big)=e^{4t}(4u t + 4v + u).
Substituindo na equação:
e^{4t}(4u t + 4v + u) = A e^{4t}(u t + v) + e^{4t}\begin{pmatrix}t-4\\[4pt]2t+1\end{pmatrix}.
Cancelando e^{4t} e agrupando coeficientes de t e constantes resulta o sistema vetorial
\text{coeficiente de }t:\qquad 4u = A u + \begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix},
\text{constante}:\qquad 4v+u = A v + \begin{pmatrix}-4\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Reescrevendo
(4I-A)u=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix},\qquad (4I-A)v=\begin{pmatrix}-4\\[4pt]1\end{pmatrix}-u.
Calcule 4I-A:
4I-A=\begin{pmatrix}1 & 7\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix}.
Resolvendo (4I-A)u=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}:
\begin{cases} u_1+7u_2=1,\\[4pt] - u_1+3u_2=2. \end{cases}
Somando as equações dá 10u_2=3\Rightarrow u_2=\dfrac{3}{10}\]. Então \[u_1=1-7u_2=1-\dfrac{21}{10}=-\dfrac{11}{10}. Assim
u=\begin{pmatrix}-\dfrac{11}{10}\\[6pt]\dfrac{3}{10}\end{pmatrix}.
Agora o segundo sistema: o lado direito é \begin{pmatrix}-4\\[4pt]1\end{pmatrix}-u=\begin{pmatrix}-\dfrac{29}{10}\\[6pt]\dfrac{7}{10}\end{pmatrix}. Logo
(4I-A)v=\begin{pmatrix}-\dfrac{29}{10}\\[6pt]\dfrac{7}{10}\end{pmatrix}.
Resolvendo
\begin{cases} v_1+7v_2=-\dfrac{29}{10},\\[4pt] - v_1+3v_2=\dfrac{7}{10}. \end{cases}
Somando dá 10v_2=-\dfrac{22}{10}\Rightarrow v_2=-\dfrac{11}{50}\]. Então \(v_1=-\dfrac{29}{10}-7v_2=-\dfrac{29}{10}+ \dfrac{77}{50}=-\dfrac{34}{25}. Portanto
v=\begin{pmatrix}-\dfrac{34}{25}\\[6pt]-\dfrac{11}{50}\end{pmatrix}.
Assim a solução particular para o termo exponencial é
X_{p,2}(t)=e^{4t}\!\left(\begin{pmatrix}-\dfrac{11}{10}\\[6pt]\dfrac{3}{10}\end{pmatrix} t + \begin{pmatrix}-\dfrac{34}{25}\\[6pt]-\dfrac{11}{50}\end{pmatrix}\right).]

Passo 6

Combinar tudo: a solução particular total é
X_p(t)=X_{p,1}(t)+X_{p,2}(t),
onde X_{p,1} e X_{p,2} foram obtidos nos passos anteriores. A solução geral do sistema é
X(t)=X_h(t)+X_p(t).
Escrevendo explicitamente em forma vetorial:
X(t)= C_1 e^{2t}\begin{pmatrix}\cos(\omega t)-\omega\sin(\omega t)\\[6pt]\cos(\omega t)\end{pmatrix} + C_2 e^{2t}\begin{pmatrix}\sin(\omega t)+\omega\cos(\omega t)\\[6pt]\sin(\omega t)\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-\dfrac{204}{97}\\[6pt]-\dfrac{8}{97}\end{pmatrix}\cos t + \begin{pmatrix}-\dfrac{556}{97}\\[6pt]-\dfrac{212}{97}\end{pmatrix}\sin t + e^{4t}\!\left(\begin{pmatrix}-\dfrac{11}{10}\\[6pt]\dfrac{3}{10}\end{pmatrix} t + \begin{pmatrix}-\dfrac{34}{25}\\[6pt]-\dfrac{11}{50}\end{pmatrix}\right),
com onde \omega=\sqrt{6} e C_1,C_2\in\mathbb{R}.]

Resposta

\begin{aligned} \begin{pmatrix}x(t)\\[6pt]y(t)\end{pmatrix} ={}& C_1 e^{2t}\begin{pmatrix}\cos(\sqrt{6}\,t)-\sqrt{6}\sin(\sqrt{6}\,t)\\[6pt]\cos(\sqrt{6}\,t)\end{pmatrix} + C_2 e^{2t}\begin{pmatrix}\sin(\sqrt{6}\,t)+\sqrt{6}\cos(\sqrt{6}\,t)\\[6pt]\sin(\sqrt{6}\,t)\end{pmatrix}\\[6pt] &+ \begin{pmatrix}-\dfrac{204}{97}\\[6pt]-\dfrac{8}{97}\end{pmatrix}\cos t + \begin{pmatrix}-\dfrac{556}{97}\\[6pt]-\dfrac{212}{97}\end{pmatrix}\sin t\\[6pt] &+ e^{4t}\!\left(\begin{pmatrix}-\dfrac{11}{10}\\[6pt]\dfrac{3}{10}\end{pmatrix} t + \begin{pmatrix}-\dfrac{34}{25}\\[6pt]-\dfrac{11}{50}\end{pmatrix}\right), \end{aligned}
onde C_1,C_2 são constantes reais e \sqrt{6} é a raiz quadrada de 6.]

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