Temos autovalores complexos conjugados \lambda=2\pm i\omega com \omega=\sqrt{6}. Para isso a solução homogênea será uma combinação de funções exponenciais amortecidas por e^{2t} multiplicadas por seno e cosseno de \omega t.
Agora calculamos um autovetor para \lambda=2+i\omega. Resolva (A-(2+i\omega)I)v=0:
Da primeira equação (1-i\omega)v_1-7v_2=0. Tomando v_2=1 obtemos
v_1=\frac{7}{1-i\omega}.
Racionalizando \dfrac{1}{1-i\omega}=\dfrac{1+i\omega}{1+\omega^{2}}=\dfrac{1+i\omega}{7} (pois \omega^{2}=6), logo v_1=1+i\omega. Portanto um autovetor é
v=\begin{pmatrix}1+i\omega\\[4pt]1\end{pmatrix}.
A solução real geral do homogêneo é (usando a parte real e imaginária de e^{(2+i\omega)t}v):
onde \omega=\sqrt{6} e C_1,C_2 são constantes reais.
(Explicação curta: escrevemos v e^{i\omega t}=(1+i\omega)(\cos\omega t+i\sin\omega t) e separamos parte real e imaginária; então multiplicamos por e^{2t}.)]
Passo 3
Estratégia para a parte particular: pela linearidade, procuramos uma solução particular como soma de duas partes
X_p(t)=X_{p,1}(t)+X_{p,2}(t),
onde X_{p,1} atende ao forçamento seno e X_{p,2} atende ao termo com e^{4t}. Usaremos método dos coeficientes indeterminados: supor formas para X_{p,1} e X_{p,2} com incógnitas constantes vetoriais e resolver as equações algébricas que surgem.
Passo 4
Parte particular para o termo senoidal [\begin{pmatrix}4\\[4pt]8\end{pmatrix}\sin t).
Proposta: procurar
X_{p,1}(t)=a\cos t + b\sin t,
onde a=\begin{pmatrix}a_1\\[4pt]a_2\end{pmatrix} e b=\begin{pmatrix}b_1\\[4pt]b_2\end{pmatrix} são vetores constantes a determinar.
Derivada:
X_{p,1}'(t)=-a\sin t + b\cos t.
Substituindo na equação dá
-a\sin t + b\cos t = A(a\cos t + b\sin t) + \begin{pmatrix}4\\[4pt]8\end{pmatrix}\sin t.
Agrupando coeficientes de \cos t e \sin t obtemos duas equações vetoriais:
\cos t:\qquad b = A a,
\sin t:\qquad -a = A b + \begin{pmatrix}4\\[4pt]8\end{pmatrix}.
Da primeira b=Aa. Substituindo na segunda:
-a = A(Aa) + \begin{pmatrix}4\\[4pt]8\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad (I + A^{2})a = -\begin{pmatrix}4\\[4pt]8\end{pmatrix}.
Portanto a solução particular para a parte senoidal é
X_{p,1}(t)=\begin{pmatrix}-\dfrac{204}{97}\\[6pt]-\dfrac{8}{97}\end{pmatrix}\cos t + \begin{pmatrix}-\dfrac{556}{97}\\[6pt]-\dfrac{212}{97}\end{pmatrix}\sin t.]
Passo 5
Parte particular para o termo [\begin{pmatrix}t-4\\[4pt]2t+1\end{pmatrix}e^{4t}).
Observação sobre ressonância: os autovalores do sistema homogêneo têm parte real 2, logo a exponencial e^{4t} não coincide com modos homogêneos e^{2t} — não há ressonância com e^{4t}. Assim podemos tentar uma solução da forma
X_{p,2}(t)=e^{4t}(u\,t+v),
onde u=\begin{pmatrix}u_1\\[4pt]u_2\end{pmatrix} e v=\begin{pmatrix}v_1\\[4pt]v_2\end{pmatrix} são vetores constantes a determinar (grau 1 em t porque o forçamento tem grau 1).
Derivada:
X_{p,2}'(t)=e^{4t}\big(4(u t+v)+u\big)=e^{4t}(4u t + 4v + u).
Substituindo na equação:
e^{4t}(4u t + 4v + u) = A e^{4t}(u t + v) + e^{4t}\begin{pmatrix}t-4\\[4pt]2t+1\end{pmatrix}.
Cancelando e^{4t} e agrupando coeficientes de t e constantes resulta o sistema vetorial
\text{coeficiente de }t:\qquad 4u = A u + \begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix},
\text{constante}:\qquad 4v+u = A v + \begin{pmatrix}-4\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Agora o segundo sistema: o lado direito é \begin{pmatrix}-4\\[4pt]1\end{pmatrix}-u=\begin{pmatrix}-\dfrac{29}{10}\\[6pt]\dfrac{7}{10}\end{pmatrix}. Logo
Somando dá 10v_2=-\dfrac{22}{10}\Rightarrow v_2=-\dfrac{11}{50}\]. Então \(v_1=-\dfrac{29}{10}-7v_2=-\dfrac{29}{10}+ \dfrac{77}{50}=-\dfrac{34}{25}. Portanto
Assim a solução particular para o termo exponencial é
X_{p,2}(t)=e^{4t}\!\left(\begin{pmatrix}-\dfrac{11}{10}\\[6pt]\dfrac{3}{10}\end{pmatrix} t + \begin{pmatrix}-\dfrac{34}{25}\\[6pt]-\dfrac{11}{50}\end{pmatrix}\right).]
Passo 6
Combinar tudo: a solução particular total é
X_p(t)=X_{p,1}(t)+X_{p,2}(t),
onde X_{p,1} e X_{p,2} foram obtidos nos passos anteriores. A solução geral do sistema é
X(t)=X_h(t)+X_p(t).
Escrevendo explicitamente em forma vetorial:
X(t)= C_1 e^{2t}\begin{pmatrix}\cos(\omega t)-\omega\sin(\omega t)\\[6pt]\cos(\omega t)\end{pmatrix} + C_2 e^{2t}\begin{pmatrix}\sin(\omega t)+\omega\cos(\omega t)\\[6pt]\sin(\omega t)\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-\dfrac{204}{97}\\[6pt]-\dfrac{8}{97}\end{pmatrix}\cos t + \begin{pmatrix}-\dfrac{556}{97}\\[6pt]-\dfrac{212}{97}\end{pmatrix}\sin t + e^{4t}\!\left(\begin{pmatrix}-\dfrac{11}{10}\\[6pt]\dfrac{3}{10}\end{pmatrix} t + \begin{pmatrix}-\dfrac{34}{25}\\[6pt]-\dfrac{11}{50}\end{pmatrix}\right),
com onde \omega=\sqrt{6} e C_1,C_2\in\mathbb{R}.]
Resposta
\begin{aligned} \begin{pmatrix}x(t)\\[6pt]y(t)\end{pmatrix} ={}& C_1 e^{2t}\begin{pmatrix}\cos(\sqrt{6}\,t)-\sqrt{6}\sin(\sqrt{6}\,t)\\[6pt]\cos(\sqrt{6}\,t)\end{pmatrix} + C_2 e^{2t}\begin{pmatrix}\sin(\sqrt{6}\,t)+\sqrt{6}\cos(\sqrt{6}\,t)\\[6pt]\sin(\sqrt{6}\,t)\end{pmatrix}\\[6pt] &+ \begin{pmatrix}-\dfrac{204}{97}\\[6pt]-\dfrac{8}{97}\end{pmatrix}\cos t + \begin{pmatrix}-\dfrac{556}{97}\\[6pt]-\dfrac{212}{97}\end{pmatrix}\sin t\\[6pt] &+ e^{4t}\!\left(\begin{pmatrix}-\dfrac{11}{10}\\[6pt]\dfrac{3}{10}\end{pmatrix} t + \begin{pmatrix}-\dfrac{34}{25}\\[6pt]-\dfrac{11}{50}\end{pmatrix}\right), \end{aligned}
onde C_1,C_2 são constantes reais e \sqrt{6} é a raiz quadrada de 6.]