Escreva o sistema linear em forma matricial.
\frac{d x}{d t}=-3 x+4 y+e^{-t} \operatorname{sen} 2 t
\frac{d y}{d t}=5 x+9 z+4 e^{-t} \cos 2 t
$\frac{d z}{d t}=y+6 z-e^{-t}

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados ele dá.
  • O enunciado pede: escrever o sistema linear dado em forma matricial.
  • O sistema fornecido é:
\frac{d x}{d t}=-3 x+4 y+e^{-t}\operatorname{sen}2t
\frac{d y}{d t}=5 x+9 z+4e^{-t}\cos 2t
\frac{d z}{d t}=y+6 z-e^{-t}
  • Informações relevantes extraídas: são três equações de primeira ordem, envolvendo as variáveis x(t), y(t), z(t); os termos lineares em x,y,z têm coeficientes constantes e há um termo dependente de t (não homogêneo) que envolve e^{-t} multiplicando funções de t.

Passo 2

Definir o vetor-estado e a derivada vetorial — primeiro passo para a forma matricial.
  • Introduzir o vetor coluna que reúne as incógnitas:
\mathbf{X}(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\[4pt]y(t)\\[4pt]z(t)\end{pmatrix}.
  • A derivada desse vetor é a coluna das derivadas das componentes:
\mathbf{X}'(t)=\begin{pmatrix}x'(t)\\[4pt]y'(t)\\[4pt]z'(t)\end{pmatrix}.
  • Objetivo: escrever \mathbf{X}'(t) como produto de uma matriz de coeficientes por \mathbf{X}(t) mais um vetor de termos forçantes dependente de t.]

Passo 3

Construir a matriz de coeficientes A a partir dos coeficientes das incógnitas em cada equação.
  • A primeira equação é x'=-3x+4y+(\text{termo em }t). Portanto a primeira linha da matriz de coeficientes é [-3,\;4,\;0] porque o coeficiente de z é zero.
  • A segunda equação é y'=5x+0\cdot y+9z+(\text{termo em }t). Assim a segunda linha é [5,\;0,\;9].
  • A terceira equação é z'=0\cdot x+1\cdot y+6z+(\text{termo em }t). Assim a terceira linha é [0,\;1,\;6].
  • Logo a matriz de coeficientes é
A=\begin{pmatrix}-3 & 4 & 0\\[4pt]5 & 0 & 9\\[4pt]0 & 1 & 6\end{pmatrix}.]

Passo 4

Construir o vetor não homogêneo (termos dependentes de t).
  • Os termos forçantes nas três equações são, respectivamente: e^{-t}\operatorname{sen}2t, 4e^{-t}\cos 2t e -e^{-t}.
  • Colocando esses termos em um vetor coluna:
\mathbf{f}(t)=\begin{pmatrix}e^{-t}\operatorname{sen}2t\\[4pt]4e^{-t}\cos 2t\\[4pt]-e^{-t}\end{pmatrix}.
  • Observação útil: todos os componentes têm o fator comum e^{-t}, então é conveniente escrever
\mathbf{f}(t)=e^{-t}\begin{pmatrix}\operatorname{sen}2t\\[4pt]4\cos 2t\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Montar a forma matricial final e comentar rapidamente o que ela representa.
  • Reunindo os elementos, a forma matricial do sistema é
\mathbf{X}'(t)=A\,\mathbf{X}(t)+\mathbf{f}(t),
onde A e \mathbf{f}(t) são os definidos nos passos anteriores.
  • Interpretação curta (pra te animar): isso é exatamente escrever o sistema como um único objeto vetorial — muito útil para aplicar técnicas gerais (por exemplo, exponencial de matriz para o caso homogêneo ou métodos de variação de parâmetros para tratar \mathbf{f}(t)). Aqui o sistema é linear e não homogêneo porque \mathbf{f}(t) depende de t.

Resposta

\mathbf{X}(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\[4pt]y(t)\\[4pt]z(t)\end{pmatrix},\qquad \mathbf{X}'(t)=\begin{pmatrix}-3 & 4 & 0\\[4pt]5 & 0 & 9\\[4pt]0 & 1 & 6\end{pmatrix}\mathbf{X}(t)+e^{-t}\begin{pmatrix}\operatorname{sen}2t\\[4pt]4\cos 2t\\[4pt]-1\end{pmatrix}

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