Escreva o sistema linear em forma matricial. \frac{d x}{d t}=-3 x+4 y+e^{-t} \operatorname{sen} 2 t \frac{d y}{d t}=5 x+9 z+4 e^{-t} \cos 2 t
$\frac{d z}{d t}=y+6 z-e^{-t}
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados ele dá.
O enunciado pede: escrever o sistema linear dado em forma matricial.
Informações relevantes extraídas: são três equações de primeira ordem, envolvendo as variáveis x(t), y(t), z(t); os termos lineares em x,y,z têm coeficientes constantes e há um termo dependente de t (não homogêneo) que envolve e^{-t} multiplicando funções de t.
Passo 2
Definir o vetor-estado e a derivada vetorial — primeiro passo para a forma matricial.
Introduzir o vetor coluna que reúne as incógnitas:
Objetivo: escrever \mathbf{X}'(t) como produto de uma matriz de coeficientes por \mathbf{X}(t) mais um vetor de termos forçantes dependente de t.]
Passo 3
Construir a matriz de coeficientes A a partir dos coeficientes das incógnitas em cada equação.
A primeira equação é x'=-3x+4y+(\text{termo em }t). Portanto a primeira linha da matriz de coeficientes é [-3,\;4,\;0] porque o coeficiente de z é zero.
A segunda equação é y'=5x+0\cdot y+9z+(\text{termo em }t). Assim a segunda linha é [5,\;0,\;9].
A terceira equação é z'=0\cdot x+1\cdot y+6z+(\text{termo em }t). Assim a terceira linha é [0,\;1,\;6].
Montar a forma matricial final e comentar rapidamente o que ela representa.
Reunindo os elementos, a forma matricial do sistema é
\mathbf{X}'(t)=A\,\mathbf{X}(t)+\mathbf{f}(t),
onde A e \mathbf{f}(t) são os definidos nos passos anteriores.
Interpretação curta (pra te animar): isso é exatamente escrever o sistema como um único objeto vetorial — muito útil para aplicar técnicas gerais (por exemplo, exponencial de matriz para o caso homogêneo ou métodos de variação de parâmetros para tratar \mathbf{f}(t)). Aqui o sistema é linear e não homogêneo porque \mathbf{f}(t) depende de t.