Verifique quais vetores abaixo são unitários:
u=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).

Passo 1

O enunciado fornece o vetor \;u=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\; e pede para verificar se ele é unitário.
Informações dadas:
  • A componente x de u é \dfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • A componente y de u é -\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    O que é pedido:
  • Determinar se o comprimento (norma) de \;u\; é igual a \;1.

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar: um vetor em \mathbb{R}^2 é unitário se a sua norma (comprimento) vale \;1. Para um vetor \;v=(v_x,v_y)\; em \mathbb{R}^2 a norma é dada por
\|v\|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}}.
Aqui v_x e v_y são as componentes do vetor (a coordenada x e a coordenada y), e o quadrado significa multiplicar a componente por ela mesma.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao vetor \;u\;: as componentes são u_x=\dfrac{\sqrt{2}}{2} e u_y=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Primeiro calculamos os quadrados das componentes:
\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\dfrac{(\sqrt{2})^{2}}{2^{2}}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2},
\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\dfrac{(\sqrt{2})^{2}}{2^{2}}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}.
Observação: o sinal negativo some ao elevar ao quadrado, por isso o segundo resultado também é \dfrac{1}{2}.

Passo 4

Somamos os quadrados e tomamos a raiz:
\|u\|=\sqrt{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}}=\sqrt{1}=1.
Portanto o comprimento do vetor \;u\; é exatamente \;1.

Passo 5

Conclusão e interpretação curta (pra motivar): como \|u\|=1, o vetor \;u\; é unitário. Geometricamente, \;u\; está sobre o círculo unitário e aponta na direção de -45^\circ (ou -\tfrac{\pi}{4} radianos), mas o importante para a prova é que sua norma é \;1.

Resposta

u é unitário.

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