1. Verifique se os vetores:
(1,2),(2,-1)
são ortogonais.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores
\,(1,2)\, e \,(2,-1)\,
são ortogonais.
Informações dadas:
  • Primeiro vetor: \mathbf{u}=(1,2).
  • Segundo vetor: \mathbf{v}=(2,-1).
    Pedido: determinar se \mathbf{u} é perpendicular a \mathbf{v} (isto é, se são ortogonais).

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado devagar): o produto escalar (ou produto interno) de dois vetores em \mathbb{R}^2 é definido assim. Se \mathbf{u}=(u_1,u_2) e \mathbf{v}=(v_1,v_2), então
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2.
Por que isso importa para ortogonalidade? Porque existe a relação geométrica
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre os vetores e \|\mathbf{u}\| é o comprimento (norma) de \mathbf{u}. Se \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0 e nem \mathbf{u} nem \mathbf{v} são o vetor nulo, então \cos\theta=0 e \theta=90^\circ, ou seja, os vetores são ortogonais. Essa é a condição padrão que se usa em provas.

Passo 3

Aplicar a fórmula do produto escalar aos vetores dados:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=(1)\cdot(2)+(2)\cdot(-1).
Calcule passo a passo:
(1)\cdot(2)=2, \qquad (2)\cdot(-1)=-2,
então
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=2+(-2).

Passo 4

Somando os termos:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=2-2=0.
Aqui chegamos a um número limpo: o produto escalar é exatamente zero.

Passo 5

Interpretação didática: como \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0 e nenhum dos vetores é o vetor nulo, pela propriedade do produto escalar vista no Passo 2 temos \cos\theta=0, isto é, o ângulo entre os vetores é \theta=90^\circ. Em linguagem de prova: produto escalar zero implica ortogonalidade.

Passo 6

(Verificação alternativa, rápida, só para fixar) Em \mathbb{R}^2 também se pode checar perpendicularidade olhando as inclinações (declives) das retas que os vetores determinam. O declive do vetor (1,2) é 2/1=2 e o do vetor (2,-1) é (-1)/2=-\tfrac{1}{2}. O produto dos declives é
2\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)=-1,
e declives cujo produto é -1 correspondem a retas perpendiculares — confirmação extra de que os vetores são ortogonais.

Resposta

Sim — os vetores (1,2) e (2,-1) são ortogonais.

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