- Verifique se os vetores:
são ortogonais.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se os vetores
e
são ortogonais.
Informações dadas:
são ortogonais.
Informações dadas:
- Primeiro vetor:
. - Segundo vetor:
.
Pedido: determinar seé perpendicular a (isto é, se são ortogonais).
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado devagar): o produto escalar (ou produto interno) de dois vetores em
é definido assim. Se
e
, então
Por que isso importa para ortogonalidade? Porque existe a relação geométrica
onde
é o ângulo entre os vetores e
é o comprimento (norma) de
. Se
e nem
nem
são o vetor nulo, então
e
, ou seja, os vetores são ortogonais. Essa é a condição padrão que se usa em provas.
Passo 3
Aplicar a fórmula do produto escalar aos vetores dados:
Calcule passo a passo:
então
Passo 4
Somando os termos:
Aqui chegamos a um número limpo: o produto escalar é exatamente zero.
Passo 5
Interpretação didática: como
e nenhum dos vetores é o vetor nulo, pela propriedade do produto escalar vista no Passo 2 temos
, isto é, o ângulo entre os vetores é
. Em linguagem de prova: produto escalar zero implica ortogonalidade.
Passo 6
(Verificação alternativa, rápida, só para fixar) Em
também se pode checar perpendicularidade olhando as inclinações (declives) das retas que os vetores determinam. O declive do vetor
é
e o do vetor
é
. O produto dos declives é
e declives cujo produto é
correspondem a retas perpendiculares — confirmação extra de que os vetores são ortogonais.
Resposta
Sim — os vetores
e
são ortogonais.