1. Determine a projeção ortogonal de:
(2,3)
sobre
(1,1)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a projeção ortogonal do vetor (2,3) sobre o vetor (1,1).
Informações dadas:
  • Vetor a ser projetado: \mathbf{u} = (2,3).
  • Vetor sobre o qual projetamos: \mathbf{v} = (1,1).
Pedido claro: encontrar o vetor projeção \operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}, isto é, a componente de \mathbf{u} na direção de \mathbf{v}.

Passo 2

Vamos lembrar a definição do produto escalar em \mathbb{R}^2. Para dois vetores \mathbf{a}=(a_1,a_2) e \mathbf{b}=(b_1,b_2) vale:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2.
O produto escalar mede, entre outras coisas, a “semelhança de direção” entre vetores e aparece na fórmula da projeção. Agora calculo o produto escalar entre \mathbf{u} e \mathbf{v}:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=2\cdot1+3\cdot1=2+3=5.

Passo 3

Agora a fórmula padrão para a projeção ortogonal do vetor \mathbf{u} sobre \mathbf{v} é:
\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}}\,\mathbf{v}.
Explicando essa fórmula de forma simples: procura-se um escalar \alpha tal que \alpha\mathbf{v} seja o vetor na direção de \mathbf{v} mais próximo de \mathbf{u}. A condição de proximidade ortogonal é que \mathbf{u}-\alpha\mathbf{v} seja ortogonal a \mathbf{v}, isto é (\mathbf{u}-\alpha\mathbf{v})\cdot\mathbf{v}=0. Resolvendo essa igualdade chega-se a \alpha=(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})/(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}). Note que \mathbf{v}\cdot\mathbf{v}=|\mathbf{v}|^2, o quadrado da norma de \mathbf{v}.

Passo 4

Calculo \mathbf{v}\cdot\mathbf{v}:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}=1\cdot1+1\cdot1=1+1=2.
O escalar que multiplica \mathbf{v} é
\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}}=\frac{5}{2}.
Multiplicando esse escalar por \mathbf{v} obtemos a projeção:
\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}=\frac{5}{2}\,(1,1)=\left(\frac{5}{2},\frac{5}{2}\right).

Passo 5

Verificação rápida (para gerar confiança): a diferença \mathbf{u}-\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u} deve ser ortogonal a \mathbf{v}. Calculo:
\mathbf{u}-\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}=(2,3)-\left(\frac{5}{2},\frac{5}{2}\right)=\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right).
O produto escalar com \mathbf{v} é
\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\cdot(1,1)=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0,
logo é realmente perpendicular a \mathbf{v}. Tudo confere.

Resposta

\left(\dfrac{5}{2},\dfrac{5}{2}\right)

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