- Determine a projeção ortogonal de:
sobre
Passo 1
O enunciado pede para determinar a projeção ortogonal do vetor
sobre o vetor
.
Informações dadas:
- Vetor a ser projetado:
. - Vetor sobre o qual projetamos:
.
Pedido claro: encontrar o vetor projeção
, isto é, a componente de
na direção de
.
Passo 2
Vamos lembrar a definição do produto escalar em
. Para dois vetores
e
vale:
O produto escalar mede, entre outras coisas, a “semelhança de direção” entre vetores e aparece na fórmula da projeção. Agora calculo o produto escalar entre
e
:
Passo 3
Agora a fórmula padrão para a projeção ortogonal do vetor
sobre
é:
Explicando essa fórmula de forma simples: procura-se um escalar
tal que
seja o vetor na direção de
mais próximo de
. A condição de proximidade ortogonal é que
seja ortogonal a
, isto é
. Resolvendo essa igualdade chega-se a
. Note que
, o quadrado da norma de
.
Passo 4
Calculo
:
O escalar que multiplica
é
Multiplicando esse escalar por
obtemos a projeção:
Passo 5
Verificação rápida (para gerar confiança): a diferença
deve ser ortogonal a
. Calculo:
O produto escalar com
é
logo é realmente perpendicular a
. Tudo confere.