Verifique se os vetores são paralelos a u=(-2,1,0,3,5,1) :
(2,-1,0,-3,-5,-1)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o vetor (2,-1,0,-3,-5,-1) é paralelo ao vetor u = (-2,1,0,3,5,1).
Informações dadas: os dois vetores em \mathbb{R}^6 com componentes explícitas.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): dois vetores são paralelos (ou colineares) se, e somente se, um é múltiplo escalar do outro.
Isto significa que existe um escalar k tal que
v = k\,u.
Aqui v é o vetor que queremos testar e u é o vetor dado. Em coordenadas, isso vira um sistema de igualdades componente a componente:
v_i = k\,u_i\quad\text{para cada componente }i.
Observação prática importante: se em alguma componente u_i=0, então para que exista tal k precisamos ter v_i=0 também; caso contrário não há k que funcione.

Passo 3

Definimos o vetor a testar explicitamente:
v = (2,-1,0,-3,-5,-1).
Queremos achar k tal que v = k\,u. Escrevendo as igualdades para cada componente:
2 = k(-2),
-1 = k(1),
0 = k(0),
-3 = k(3),
-5 = k(5),
-1 = k(1).

Passo 4

Resolver a partir da primeira igualdade: 2 = k(-2). Isolando k,
k = \frac{2}{-2} = -1.
Esse é um candidato óbvio para k. Agora devemos verificar se esse k satisfaz todas as outras igualdades (checar consistência).

Passo 5

Verificação na segunda componente: com k=-1 temos k(1) = -1, que coincide com a segunda componente de v que é -1. Logo, ok.

Passo 6

Verificação na terceira componente (caso zero): com k=-1 temos k(0)=0, e a terceira componente de v é 0. Isso é consistente. Aqui vale reforçar: quando u_i=0 a igualdade exige apenas v_i=0; não gera informação sobre k.

Passo 7

Verificação nas demais componentes:
  • Quarta: k(3) = -1\cdot 3 = -3, corresponde à quarta componente de v.
  • Quinta: k(5) = -1\cdot 5 = -5, corresponde à quinta componente de v.
  • Sexta: k(1) = -1\cdot 1 = -1, corresponde à sexta componente de v.
Todas batem.

Passo 8

Conclusão técnica: existe k=-1 tal que v = k\,u. Portanto os vetores são paralelos (colineares). Como k=-1<0, eles têm sentidos opostos (apontam em direções contrárias).

Resposta

Sim. (2,-1,0,-3,-5,-1) = -1\cdot(-2,1,0,3,5,1)

Exercícios relacionados