Verifique se os vetores são paralelos a u=(-2,1,0,3,5,1) :
(4, -2, 0, -6, -1, -2)

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^6. O vetor u é
u = (-2,\,1,\,0,\,3,\,5,\,1)
e o vetor que queremos verificar é
v = (4,\,-2,\,0,\,-6,\,-1,\,-2).
A pergunta é: os vetores u e v são paralelos?

Passo 2

Definição usada (explicação didática): dois vetores em \mathbb{R}^n são paralelos se, e somente se, existe um escalar \lambda tal que
v = \lambda u.
Isto significa que, componente a componente,
v_i = \lambda u_i\quad\text{para todo }i=1,\dots,6.
Observação importante sobre componentes nulas: se alguma componente de u for 0, digamos u_j=0, então para que exista \lambda é necessário que a componente correspondente de v também seja 0 (pois v_j=\lambda\cdot 0=0). Se u_j=0 e v_j\neq 0, já podemos concluir que não existe \lambda.

Passo 3

Procuramos um possível \lambda usando uma componente onde u_i\neq 0. Pela primeira componente:
\lambda = \frac{v_1}{u_1} = \frac{4}{-2} = -2.
Este é o candidato a \lambda. Para que os vetores sejam paralelos, todas as outras componentes devem dar o mesmo \lambda.

Passo 4

Verificação pela segunda componente:
\frac{v_2}{u_2} = \frac{-2}{1} = -2,
que coincide com o candidato \lambda=-2. Até aqui tudo coerente.

Passo 5

Verificação pela terceira componente: aqui u_3=0. Observando os vetores dados, v_3=0 também. Como expliquei antes, isso é compatível com qualquer \lambda (porque \lambda\cdot 0=0). Portanto a terceira componente não cria problema.

Passo 6

Verificação pela quarta componente:
\frac{v_4}{u_4} = \frac{-6}{3} = -2,
também coerente com \lambda=-2.

Passo 7

Verificação pela quinta componente:
\frac{v_5}{u_5} = \frac{-1}{5} = -\tfrac{1}{5}.
Aqui aparece uma incompatibilidade: esta razão dá -\tfrac{1}{5}, que é diferente de -2. Já basta uma única componente que não satisfaça a mesma razão para concluir que não existe \lambda que satisfaça v=\lambda u.

Passo 8

Só por completar a verificação, a sexta componente daria
\frac{v_6}{u_6} = \frac{-2}{1} = -2,
outra vez igual a -2. Mas, como a quinta componente foi incompatível, não existe escalar único que faça todas as componentes coincidir.

Resposta

Não são paralelos.

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