PROVA 2

  1. Suponha que um vetor a do plano x y tenha um comprimento de 9 unidades e aponte na direcao que faz um angulo de 120 graus no sentido antihorario a partir do eixo x positivo e que um vetor b daquele plano tenha um comprimento de 4 unidades e aponte na direcao e sentido do eixo y negativo. Encontre os produtos escalar e vetorial.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: o produto escalar e o produto vetorial entre dois vetores no plano. As informações dadas são:
\begin{aligned} &\text{vetor }a:\; \|a\|=9,\\ \text{direção }120^\circ\\ \text{(sentido anti-horário a partir do eixo }x\text{ positivo)};\\\ &\text{vetor }b:\; \|b\|=4,\\ \text{direção e sentido do eixo }y\text{ negativo (ou seja, apontando para baixo).} \end{aligned}çãáçã

Passo 2

Plano de ataque (o que vamos fazer, sem ainda calcular): transformar cada vetor em componentes cartesianas (x,y) usando trigonometria, depois aplicar as fórmulas:
a\cdot b = a_x b_x + a_y b_y
e
a\times b = (0,0\, ,\, a_x b_y - a_y b_x)
(isto é, tratar os vetores como vetores em \mathbb{R}^3 com componente z=0; o produto vetorial resultará em um vetor paralelo ao eixo z). Vou explicar cada fórmula quando for usá-la.

Passo 3

Como decompor um vetor em componentes: se um vetor tem módulo r e faz ângulo \theta com o eixo x positivo, suas componentes são
(r\cos\theta,\; r\sin\theta).
Aqui r é o comprimento do vetor e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x no sentido anti-horário. Precisamos lembrar alguns valores trigonométricos exatos úteis:
\cos120^\circ = \cos(180^\circ-60^\circ) = -\cos60^\circ = -\tfrac{1}{2},
\sin120^\circ = \sin(180^\circ-60^\circ) = \sin60^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Isso permite calcular as componentes de a exatamente sem calculadora.

Passo 4

Calcular as componentes do vetor a:
a_x = 9\cos120^\circ = 9\left(-\tfrac{1}{2}\right) = -\tfrac{9}{2} = -4,5,
a_y = 9\sin120^\circ = 9\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \tfrac{9\sqrt{3}}{2} = 4,5\sqrt{3}.
Logo, em componentes:
a = \left(-\tfrac{9}{2},\; \tfrac{9\sqrt{3}}{2}\right).

Passo 5

Calcular as componentes do vetor b: como b aponta no sentido do eixo y negativo, ele tem componente x igual a zero e componente y igual a -4:
b = (0,\;-4).
(Alternativamente poderíamos usar o ângulo \theta_b = 270^\circ ou -90^\circ e aplicar (4\cos\theta_b,4\sin\theta_b), o que dá o mesmo resultado.)

Passo 6

Produto escalar — fórmula e interpretação:
A definição em coordenadas é
a\cdot b = a_x b_x + a_y b_y.
Aplicando as componentes que encontramos:
a\cdot b = \left(-\tfrac{9}{2}\right)\cdot 0 + \left(\tfrac{9\sqrt{3}}{2}\right)\cdot(-4).
Agora calculamos passo a passo:
\left(\tfrac{9\sqrt{3}}{2}\right)\cdot(-4) = -\tfrac{36\sqrt{3}}{2} = -18\sqrt{3}.
Portanto a\cdot b = -18\sqrt{3}. (Como checagem alternativa — útil na prova — você poderia usar a\cdot b=\|a\|\|b\|\cos\varphi, onde \varphi é o ângulo entre os vetores. Aqui \varphi=150^\circ e \cos150^\circ=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}, o que dá 9\cdot4\cdot\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-18\sqrt{3}, mesma resposta.)

Passo 7

Produto vetorial — fórmula e cálculo:
Para vetores em \mathbb{R}^3 com z=0 escrevemos
a=(a_x,a_y,0),\qquad b=(b_x,b_y,0),
e a componente z do produto vetorial é
(a\times b)_z = a_x b_y - a_y b_x.
As componentes x e y do produto vetorial serão zero porque a_z=b_z=0. Então
a\times b = \bigl(0,0,\; a_x b_y - a_y b_x\bigr).
Agora substituímos:
a_x b_y - a_y b_x = \left(-\tfrac{9}{2}\right)\cdot(-4) - \left(\tfrac{9\sqrt{3}}{2}\right)\cdot 0.
Isso é
\left(-\tfrac{9}{2}\right)\cdot(-4)=\tfrac{36}{2}=18.
Portanto o produto vetorial é o vetor
a\times b = (0,0,18).
Interpretação física/geometria rápida: o resultado aponta para fora do plano (direção positiva do eixo z) e seu módulo é \|a\|\|b\|\sin\varphi = 9\cdot4\cdot\sin150^\circ=36\cdot\tfrac{1}{2}=18, consistente com o cálculo.

Resposta

Produto escalar: a\cdot b = -18\sqrt{3}
Produto vetorial: a\times b = (0,0,18)

Exercícios relacionados