PROVA 2
- Suponha que um vetor a do plano
tenha um comprimento de 9 unidades e aponte na direcao que faz um angulo de 120 graus no sentido antihorario a partir do eixo x positivo e que um vetor b daquele plano tenha um comprimento de 4 unidades e aponte na direcao e sentido do eixo y negativo. Encontre os produtos escalar e vetorial.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: o produto escalar e o produto vetorial entre dois vetores no plano. As informações dadas são:
Passo 2
Plano de ataque (o que vamos fazer, sem ainda calcular): transformar cada vetor em componentes cartesianas
usando trigonometria, depois aplicar as fórmulas:
e
(isto é, tratar os vetores como vetores em
com componente
; o produto vetorial resultará em um vetor paralelo ao eixo
). Vou explicar cada fórmula quando for usá-la.
Passo 3
Como decompor um vetor em componentes: se um vetor tem módulo
e faz ângulo
com o eixo
positivo, suas componentes são
Aqui
é o comprimento do vetor e
é o ângulo medido a partir do eixo
no sentido anti-horário. Precisamos lembrar alguns valores trigonométricos exatos úteis:
Isso permite calcular as componentes de
exatamente sem calculadora.
Passo 4
Calcular as componentes do vetor
:
Logo, em componentes:
Passo 5
Calcular as componentes do vetor
: como
aponta no sentido do eixo
negativo, ele tem componente
igual a zero e componente
igual a
:
(Alternativamente poderíamos usar o ângulo
ou
e aplicar
, o que dá o mesmo resultado.)
Passo 6
Produto escalar — fórmula e interpretação:
A definição em coordenadas é
A definição em coordenadas é
Aplicando as componentes que encontramos:
Agora calculamos passo a passo:
Portanto
. (Como checagem alternativa — útil na prova — você poderia usar
, onde
é o ângulo entre os vetores. Aqui
e
, o que dá
, mesma resposta.)
Passo 7
Produto vetorial — fórmula e cálculo:
Para vetores em com
escrevemos
Para vetores em
e a componente
do produto vetorial é
As componentes
e
do produto vetorial serão zero porque
. Então
Agora substituímos:
Isso é
Portanto o produto vetorial é o vetor
Interpretação física/geometria rápida: o resultado aponta para fora do plano (direção positiva do eixo
) e seu módulo é
, consistente com o cálculo.
Resposta
Produto escalar:
Produto vetorial:
Produto vetorial: