Verifique se os vetores vec{u}, \vec{v}, \vec{w} dados abaixo é L.I. ou é L.D.:
\vec{u}=(1,-3,-1), \vec{v}=(-2,1,-3) e \vec{w}=(1,-1,1).
Resp.: L.D.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3: \vec{u}=(1,-3,-1), \vec{v}=(-2,1,-3) e \vec{w}=(1,-1,1).
Queremos verificar se eles são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.).
Para isso, vemos se existe solução não trivial de
\alpha\vec{u} + \beta\vec{v} + \gamma\vec{w} = \vec{0}.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear nula em coordenadas, temos
\alpha(1,-3,-1) + \beta(-2,1,-3) + \gamma(1,-1,1) = (0,0,0).
Isso gera o sistema
\alpha - 2\beta + \gamma = 0
-3\alpha + \beta - \gamma = 0
- \alpha - 3\beta + \gamma = 0

Passo 3

Da primeira equação
\alpha - 2\beta + \gamma = 0
isolamos \gamma:
\gamma = 2\beta - \alpha.

Passo 4

Substituindo \gamma = 2\beta - \alpha na segunda equação
-3\alpha + \beta - (2\beta - \alpha) = 0
temos
-3\alpha + \beta -2\beta + \alpha = 0 \quad\Longrightarrow\quad -2\alpha - \beta = 0 \quad\Longrightarrow\quad \beta = -2\alpha.
Logo
\gamma = 2(-2\alpha) - \alpha = -5\alpha.
Verificando na terceira equação
- \alpha - 3(-2\alpha) + (-5\alpha) = -\alpha +6\alpha -5\alpha = 0,
vê-se que ela também é satisfeita.

Passo 5

Achei uma solução não trivial, por exemplo (\alpha,\beta,\gamma)=(1,-2,-5)\neq(0,0,0).
Logo os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

L.D.

Exercícios relacionados