Verifique se W é subespaço vetorial de V nos casos:
W=\{f \in \mathcal{F}: f(3)=2 f(1)\} e V=\mathcal{F}=\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\}.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o espaço vetorial \displaystyle V=\mathcal{F}=\{\,f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\}
e o subconjunto \displaystyle W=\{\,f\in\mathcal{F}:f(3)=2\,f(1)\}.
Para ver se W é subespaço vetorial de V, precisamos checar três propriedades:
  1. W\neq\emptyset (ou seja, contém o vetor zero).
  2. W é fechado sob soma: se f,g\in W então f+g\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: se f\in W e c\in\mathbb{R} então c\,f\in W.

Passo 2

Verificando se o vetor zero está em W.
Defina a função zero por \,0(x)=0 para todo x. Então
0(3)=0 \quad\text{e}\quad 2\,0(1)=2\cdot 0=0,
logo 0(3)=2\,0(1), isto é, a função zero satisfaz a condição. Portanto W\neq\emptyset.

Passo 3

Fechamento sob soma: seja f,g\in W. Então
f(3)=2\,f(1) \quad\text{e}\quad g(3)=2\,g(1).
Considere (f+g). Temos
(f+g)(3) =f(3)+g(3) =2\,f(1)+2\,g(1) =2\bigl(f(1)+g(1)\bigr) =2\,(f+g)(1).
Logo f+g satisfaz a mesma relação e, portanto, f+g\in W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar: seja f\in W e c\in\mathbb{R}. Como f(3)=2\,f(1), então
(c\,f)(3) =c\,f(3) =c\cdot\bigl(2\,f(1)\bigr) =2\,\bigl(c\,f(1)\bigr) =2\,(c\,f)(1).
Assim c\,f também satisfaz a condição e c\,f\in W.

Resposta

W é subespaço vetorial de V.

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