Verifique se W é subespaço vetorial de V nos casos:
W=\left\{a_{0}+a_{2} t^{2}+\ldots+a_{2 n} t^{2 n}: a_{i} \in \mathbb{R}\right\} e V=P_{2 n}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado dá o espaço V = P_{2n}(\mathbb{R}), ou seja, todos os polinômios de grau ≤ 2n com coeficientes reais, e a parte W\subset V formada pelos polinômios que têm apenas termos de grau par:
W = \{\,a_{0} + a_{2}t^{2} + a_{4}t^{4} + \cdots + a_{2n}t^{2n} : a_{i}\in\mathbb{R}\}.
Queremos mostrar que W é subespaço vetorial de V. Para isso, basta verificar:
  1. W\neq\varnothing.
  2. Fechamento em soma: p,q\in W\implies p+q\in W.
  3. Fechamento em escalar: \lambda\in\mathbb{R},\,p\in W\implies \lambda p\in W.

Passo 2

Verificação de não vazio. O polinômio nulo
0(t) = 0 + 0\,t^{2} + 0\,t^{4} + \cdots + 0\,t^{2n}
está em W, pois todos os coeficientes a_{2k}=0 são reais. Logo W\neq\varnothing.

Passo 3

Fechamento em soma. Se
p(t) = a_{0} + a_{2}t^{2} + \cdots + a_{2n}t^{2n}, \quad q(t) = b_{0} + b_{2}t^{2} + \cdots + b_{2n}t^{2n},
então
p(t)+q(t) = (a_{0}+b_{0}) + (a_{2}+b_{2})\,t^{2} + \cdots + (a_{2n}+b_{2n})\,t^{2n}.
Cada coeficiente resultante é real e só aparecem potências pares, logo p+q\in W.

Passo 4

Fechamento em escalar. Para \lambda\in\mathbb{R} e
p(t) = a_{0} + a_{2}t^{2} + \cdots + a_{2n}t^{2n},
temos
\lambda\,p(t) = (\lambda a_{0}) + (\lambda a_{2})\,t^{2} + \cdots + (\lambda a_{2n})\,t^{2n},
onde cada \lambda a_{2k} é real e só há termos de grau par. Logo \lambda p\in W.

Resposta

W é um subespaço vetorial de V=P_{2n}(\mathbb{R}).

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