1. Verifique se:
W=\{(x, y): x y=0\}
é subespaço.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
W=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x y = 0\}.
O que a questão pede: verificar se W é um subespaço (linear) de \mathbb{R}^2.
Informações importantes dadas:
  • Um elemento genérico de W é um par (x,y) com a propriedade x y = 0.
  • Não há outras restrições explícitas; o universo presumido é \mathbb{R}^2.

Passo 2

Lembrete didático: definição prática de subespaço linear.
Um subconjunto S\subseteq\mathbb{R}^2 é subespaço linear se e somente se satisfaz três propriedades:
  1. Contém o vetor zero: (0,0)\in S.
  2. Fechado sob multiplicação escalar: para todo v\in S e todo escalar c\in\mathbb{R}, tem-se c v\in S.
  3. Fechado sob soma: para todo u,v\in S, tem-se u+v\in S.
Explicação das propriedades (passo a passo, como se fosse na prova):
  • A propriedade 1 garante que o subespaço não é vazio e tem o elemento neutro aditivo.
  • A propriedade 2 garante que ao multiplicar qualquer vetor do conjunto por qualquer número real, o resultado ainda fica no conjunto.
  • A propriedade 3 garante que a soma de dois vetores do conjunto permanece no conjunto.
Na prática, para provar que um conjunto é subespaço convém mostrar as três; para mostrar que não é, basta encontrar uma dessas propriedades que falha (um contraexemplo).

Passo 3

Verificar se (0,0)\in W.
Calcule 0\cdot 0 = 0. Como \,0=0, o par (0,0) satisfaz a condição x y = 0.
Portanto (0,0)\in W. A propriedade 1 está satisfeita.

Passo 4

Verificar fechamento por multiplicação escalar (explicação didática).
Seja (x,y)\in W. Então x y = 0. Tome um escalar arbitrário c\in\mathbb{R}. O produto coordenada a coordenada do vetor multiplicado por c é (c x, c y). O produto dessas coordenadas é
(c x)(c y) = c^2 (x y).
Como x y = 0, segue que c^2 (x y) = c^2\cdot 0 = 0. Logo (c x, c y) também satisfaz a condição de W, isto é (c x, c y)\in W. Assim W é fechado sob multiplicação escalar.
Observação alternativa, equivalentes na prova: se x=0 então c x=0 e o produto é zero; se y=0 então c y=0. Em qualquer caso o produto das coordenadas do vetor escalado é zero.

Passo 5

Verificar fechamento por soma (buscando contraexemplo).
Para ver se W é fechado sob soma, procure dois vetores em W cuja soma não pertença a W.
Escolha os vetores
u=(1,0)\quad\text{e}\quad v=(0,1).
Verificar que u\in W: 1\cdot 0 = 0. Verificar que v\in W: 0\cdot 1 = 0. Portanto ambos pertencem a W.
Agora calcule a soma:
u+v=(1,0)+(0,1)=(1,1).
Verifique se (1,1)\in W verificando o produto das coordenadas:
1\cdot 1 = 1 \neq 0.
Portanto (1,1)\notin W. Achamos dois vetores de W cuja soma não está em W, logo W não é fechado sob soma.

Passo 6

Conclusão final baseada nas verificações:
  • W contém o vetor nulo (0,0).
  • W é fechado sob multiplicação por escalar.
  • Mas W não é fechado sob adição (contradomínio dado por um contraexemplo).
Como falha pelo menos uma das propriedades necessárias, W não é subespaço linear de \mathbb{R}^2.

Resposta

Não; W não é subespaço de \mathbb{R}^2.

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