- Verifique se:
é subespaço.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
O que a questão pede: verificar se
é um subespaço (linear) de
.
Informações importantes dadas:
- Um elemento genérico de
é um par com a propriedade . - Não há outras restrições explícitas; o universo presumido é
.
Passo 2
Lembrete didático: definição prática de subespaço linear.
Um subconjunto é subespaço linear se e somente se satisfaz três propriedades:
Um subconjunto
- Contém o vetor zero:
. - Fechado sob multiplicação escalar: para todo
e todo escalar , tem-se . - Fechado sob soma: para todo
, tem-se .
Explicação das propriedades (passo a passo, como se fosse na prova):
- A propriedade 1 garante que o subespaço não é vazio e tem o elemento neutro aditivo.
- A propriedade 2 garante que ao multiplicar qualquer vetor do conjunto por qualquer número real, o resultado ainda fica no conjunto.
- A propriedade 3 garante que a soma de dois vetores do conjunto permanece no conjunto.
Na prática, para provar que um conjunto é subespaço convém mostrar as três; para mostrar que não é, basta encontrar uma dessas propriedades que falha (um contraexemplo).
Passo 3
Verificar se
.
Calcule . Como
, o par
satisfaz a condição
.
Portanto . A propriedade 1 está satisfeita.
Calcule
Portanto
Passo 4
Verificar fechamento por multiplicação escalar (explicação didática).
Seja . Então
. Tome um escalar arbitrário
. O produto coordenada a coordenada do vetor multiplicado por
é
. O produto dessas coordenadas é
Seja
Como
, segue que
. Logo
também satisfaz a condição de
, isto é
. Assim
é fechado sob multiplicação escalar.
Observação alternativa, equivalentes na prova: se
então
e o produto é zero; se
então
. Em qualquer caso o produto das coordenadas do vetor escalado é zero.
Passo 5
Verificar fechamento por soma (buscando contraexemplo).
Para ver se é fechado sob soma, procure dois vetores em
cuja soma não pertença a
.
Para ver se
Escolha os vetores
Verificar que
:
. Verificar que
:
. Portanto ambos pertencem a
.
Agora calcule a soma:
Verifique se
verificando o produto das coordenadas:
Portanto
. Achamos dois vetores de
cuja soma não está em
, logo
não é fechado sob soma.
Passo 6
Conclusão final baseada nas verificações:
-
contém o vetor nulo . -
é fechado sob multiplicação por escalar. - Mas
não é fechado sob adição (contradomínio dado por um contraexemplo).
Como falha pelo menos uma das propriedades necessárias,
não é subespaço linear de
.
Resposta
Não;
não é subespaço de
.