- Verifique se o conjunto:
é subespaço.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede para verificar se
é um subespaço de
.
Informações dadas:
- Um elemento genérico de
é um par com a relação . - O espaço ambiente é
.
O que é pedido:
- Determinar se
satisfaz as condições que garantem ser um subespaço de .
Passo 2
Definição (explicada de forma simples): um subconjunto
é subespaço vetorial se e somente se:
-
não é vazio (equivalente: contém o vetor zero ); -
é fechado sob adição: se e , então ; -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e , então .
Explicação das condições (para você decorar e aplicar na prova):
- Contém o vetor zero: todo subespaço precisa do neutro da adição porque é fechado por combinações lineares.
- Fechamento por adição: somar dois vetores do subespaço deve produzir outro do mesmo subespaço.
- Fechamento por escalar: multiplicar um vetor do subespaço por qualquer escalar real deve ficar dentro do subespaço.
Vamos verificar essas três coisas para
.
Passo 3
Verificar que
não é vazio / contém o vetor zero.
O vetor zero em
é
. Substituindo na condição de
:
que é verdadeiro. Portanto
. Conclusão:
não é vazio e contém o vetor zero.
Por que isso importa? Se o conjunto não contivesse
, já poderia ser descartado como subespaço.
Passo 4
Verificar fechamento por adição.
Sejam dois vetores quaisquer em
, escrevemos
Pelo fato de pertencerem a
sabemos que
A soma é
Para ver se
temos que verificar a condição
. Calculamos:
Como a soma satisfaz a relação, então
. Logo
é fechado sob adição.
Comentário prático: na prova, essa técnica — somar as igualdades que definem cada vetor — é a mesma ideia sempre que a condição defining for linear.
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação por escalar.
Tome um vetor qualquer
(então
) e um escalar
. O produto escalar é
Verificamos a condição:
Portanto
para todo
. Assim,
é fechado por multiplicação por escalar.
Passo 6
Conclusão algébrica e intuição geométrica.
Juntando os passos anteriores:
-
, -
é fechado por adição, -
é fechado por multiplicação por escalar.
Logo
satisfaz as três condições e, portanto, é um subespaço de
.
Intuição adicional (útil para a prova): a equação
implica
. Então todo vetor de
tem a forma
Ou seja,
é a reta através da origem com vetor diretor
: isso mostra também que
, uma maneira rápida de ver que é subespaço (qualquer span é subespaço).
Exemplo numérico rápido para sentir a coisa:
-
e . Soma: . - Escalar:
.
Resposta
Sim.
é um subespaço de
.