1. Verifique se o conjunto:
W=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x+y=0\right\}
é subespaço.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
W=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x+y=0\right\}
e pede para verificar se W é um subespaço de \mathbb{R}^2.
Informações dadas:
  • Um elemento genérico de W é um par (x,y) com a relação \,x+y=0.
  • O espaço ambiente é \mathbb{R}^2.
O que é pedido:
  • Determinar se W satisfaz as condições que garantem ser um subespaço de \mathbb{R}^2.

Passo 2

Definição (explicada de forma simples): um subconjunto S\subseteq\mathbb{R}^2 é subespaço vetorial se e somente se:
  1. S não é vazio (equivalente: contém o vetor zero (0,0));
  2. S é fechado sob adição: se u\in S e v\in S, então u+v\in S;
  3. S é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in S e \lambda\in\mathbb{R}, então \lambda u\in S.
Explicação das condições (para você decorar e aplicar na prova):
  • Contém o vetor zero: todo subespaço precisa do neutro da adição porque é fechado por combinações lineares.
  • Fechamento por adição: somar dois vetores do subespaço deve produzir outro do mesmo subespaço.
  • Fechamento por escalar: multiplicar um vetor do subespaço por qualquer escalar real deve ficar dentro do subespaço.
Vamos verificar essas três coisas para W.

Passo 3

Verificar que W não é vazio / contém o vetor zero.
O vetor zero em \mathbb{R}^2 é (0,0). Substituindo na condição de W:
0+0=0,
que é verdadeiro. Portanto (0,0)\in W. Conclusão: W não é vazio e contém o vetor zero.
Por que isso importa? Se o conjunto não contivesse (0,0), já poderia ser descartado como subespaço.

Passo 4

Verificar fechamento por adição.
Sejam dois vetores quaisquer em W, escrevemos
u=(x_1,y_1)\in W,\qquad v=(x_2,y_2)\in W.
Pelo fato de pertencerem a W sabemos que
x_1+y_1=0\qquad\text{e}\qquad x_2+y_2=0.
A soma é
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Para ver se u+v\in W temos que verificar a condição (x_1+x_2)+(y_1+y_2)=0. Calculamos:
(x_1+x_2)+(y_1+y_2)=(x_1+y_1)+(x_2+y_2)=0+0=0.
Como a soma satisfaz a relação, então u+v\in W. Logo W é fechado sob adição.
Comentário prático: na prova, essa técnica — somar as igualdades que definem cada vetor — é a mesma ideia sempre que a condição defining for linear.

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação por escalar.
Tome um vetor qualquer u=(x_1,y_1)\in W (então x_1+y_1=0) e um escalar \lambda\in\mathbb{R}. O produto escalar é
\lambda u=(\lambda x_1,\;\lambda y_1).
Verificamos a condição:
(\lambda x_1)+(\lambda y_1)=\lambda(x_1+y_1)=\lambda\cdot 0=0.
Portanto \lambda u\in W para todo \lambda\in\mathbb{R}. Assim, W é fechado por multiplicação por escalar.

Passo 6

Conclusão algébrica e intuição geométrica.
Juntando os passos anteriores:
  • (0,0)\in W,
  • W é fechado por adição,
  • W é fechado por multiplicação por escalar.
Logo W satisfaz as três condições e, portanto, é um subespaço de \mathbb{R}^2.
Intuição adicional (útil para a prova): a equação \,x+y=0 implica y=-x. Então todo vetor de W tem a forma
(x,y)=(t,-t)=t(1,-1),\qquad t\in\mathbb{R}.
Ou seja, W é a reta através da origem com vetor diretor (1,-1): isso mostra também que W=\operatorname{span}\{(1,-1)\}, uma maneira rápida de ver que é subespaço (qualquer span é subespaço).
Exemplo numérico rápido para sentir a coisa:
  • (-2,2)\in W e (3,-3)\in W. Soma: (-2,2)+(3,-3)=(1,-1)\in W.
  • Escalar: 2\cdot(1,-1)=(2,-2)\in W.

Resposta

Sim. W é um subespaço de \mathbb{R}^2.

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