- Determine se:
é subespaço.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pergunta se
é um subespaço. Informações relevantes que temos:
- Os elementos de
são triplas de números reais . - A condição que define
é a equação linear . - A pergunta é:
é um subespaço do espaço vetorial ? (ou seja, satisfaz as propriedades necessárias para ser subespaço)
Passo 2
Lembrete do que significa ser um subespaço (explicado passo a passo):
- Um subconjunto
de é subespaço se satisfaz três propriedades básicas: - Não é vazio (ou equivalentemente: contém o vetor zero
). - Fechado sob soma: se
e , então . - Fechado sob multiplicação por escalar: se
e , então .
- Não é vazio (ou equivalentemente: contém o vetor zero
Por que essas propriedades? Porque um subespaço precisa herdar as operações de soma e multiplicação escalar do espaço ambiente e conter o vetor neutro (zero), para que seja ele próprio um espaço vetorial. Então vamos verificar essas três propriedades para
.
Passo 3
Verificar que
não é vazio (contém o vetor zero).
- O vetor zero é
. - Calculo:
. - Como a condição definidora de
é , concluímos que . - Portanto
não é vazio e contém o vetor zero, ok!
Passo 4
Verificar fechamento sob soma (explicação detalhada).
- Seja
e . Pela definição de temos - Considere a soma
. - Agora somamos as coordenadas desse vetor:
- Usando a associatividade e comutatividade da adição (podemos agrupar como),
- Substituindo as igualdades anteriores isso vira
- Portanto as coordenadas de
satisfazem a equação definidora de , isto é . - Conclusão:
é fechado sob soma.
Passo 5
Verificar fechamento sob multiplicação por escalar (explicação detalhada).
- Seja
, então . - Tome um escalar qualquer
. - O vetor multiplicado é
. - Somando as coordenadas temos
- Fatorando
(distributividade da multiplicação escalar sobre a soma), - Como
, segue que - Logo as coordenadas de
satisfazem a equação definidora de , ou seja . - Conclusão:
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
Conclusão final e interpretação geométrica curta (para decorar e entender).
- Verificamos as três propriedades necessárias:
contém o vetor zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalar. - Portanto
é um subespaço vetorial de . - Intuição geométrica:
é o plano em formado por todas as triplas cuja soma das coordenadas é zero; esse plano passa pela origem (por isso é subespaço).
Resposta
Sim.
é subespaço de
.