1. Determine se:
W=\{(x, y, z): x+y+z=0\}
é subespaço.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
W=\{(x,y,z)\mid x+y+z=0\}
e pergunta se W é um subespaço. Informações relevantes que temos:
  • Os elementos de W são triplas de números reais (x,y,z).
  • A condição que define W é a equação linear \,x+y+z=0.
  • A pergunta é: W é um subespaço do espaço vetorial \mathbb{R}^3? (ou seja, satisfaz as propriedades necessárias para ser subespaço)

Passo 2

Lembrete do que significa ser um subespaço (explicado passo a passo):
  • Um subconjunto S de \mathbb{R}^3 é subespaço se satisfaz três propriedades básicas:
    1. Não é vazio (ou equivalentemente: contém o vetor zero (0,0,0)).
    2. Fechado sob soma: se u\in S e v\in S, então u+v\in S.
    3. Fechado sob multiplicação por escalar: se u\in S e c\in\mathbb{R}, então c\,u\in S.
Por que essas propriedades? Porque um subespaço precisa herdar as operações de soma e multiplicação escalar do espaço ambiente e conter o vetor neutro (zero), para que seja ele próprio um espaço vetorial. Então vamos verificar essas três propriedades para W.

Passo 3

Verificar que W não é vazio (contém o vetor zero).
  • O vetor zero é (0,0,0).
  • Calculo: 0+0+0=0.
  • Como a condição definidora de W é x+y+z=0, concluímos que (0,0,0)\in W.
  • Portanto W não é vazio e contém o vetor zero, ok!

Passo 4

Verificar fechamento sob soma (explicação detalhada).
  • Seja u=(x_1,y_1,z_1)\in W e v=(x_2,y_2,z_2)\in W. Pela definição de W temos x_1+y_1+z_1=0 \quad\text{e}\quad x_2+y_2+z_2=0.
  • Considere a soma u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
  • Agora somamos as coordenadas desse vetor: (x_1+x_2)+(y_1+y_2)+(z_1+z_2).
  • Usando a associatividade e comutatividade da adição (podemos agrupar como), (x_1+x_2)+(y_1+y_2)+(z_1+z_2) = (x_1+y_1+z_1) + (x_2+y_2+z_2).
  • Substituindo as igualdades anteriores isso vira (x_1+y_1+z_1) + (x_2+y_2+z_2) = 0 + 0 = 0.
  • Portanto as coordenadas de u+v satisfazem a equação definidora de W, isto é u+v\in W.
  • Conclusão: W é fechado sob soma.

Passo 5

Verificar fechamento sob multiplicação por escalar (explicação detalhada).
  • Seja u=(x,y,z)\in W, então x+y+z=0.
  • Tome um escalar qualquer c\in\mathbb{R}.
  • O vetor multiplicado é c\,u=(c x,\; c y,\; c z).
  • Somando as coordenadas temos c x + c y + c z.
  • Fatorando c (distributividade da multiplicação escalar sobre a soma), c x + c y + c z = c\,(x+y+z).
  • Como x+y+z=0, segue que c\,(x+y+z)=c\cdot 0 = 0.
  • Logo as coordenadas de c\,u satisfazem a equação definidora de W, ou seja c\,u\in W.
  • Conclusão: W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Conclusão final e interpretação geométrica curta (para decorar e entender).
  • Verificamos as três propriedades necessárias: W contém o vetor zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalar.
  • Portanto W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.
  • Intuição geométrica: W é o plano em \mathbb{R}^3 formado por todas as triplas cuja soma das coordenadas é zero; esse plano passa pela origem (por isso é subespaço).

Resposta

Sim. W é subespaço de \mathbb{R}^3.

Exercícios relacionados