Verifique que
, sendo
uma constante arbitrária, é solução da equação
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função $ y(x) = \frac{c}{x} $, onde $ c $ é uma constante qualquer, é realmente uma solução da equação diferencial $ x y^{\prime} = -y $. Para isso, vamos usar conceitos básicos de cálculo, como derivadas e substituição em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa $ y^{\prime} $. Essa é a derivada de $ y $ em relação a $ x $. Então, vamos calcular a derivada de $ y(x) = \frac{c}{x} $.
Passo 3
Calculando a derivada:
Sabemos que a derivada de $ \frac{1}{x} $ é $ -\frac{1}{x^{2}} $, então:
Passo 4
Agora, vamos substituir $ y(x) $ e $ y^{\prime}(x) $ na equação diferencial dada:
Substituindo:
Passo 5
Vamos simplificar o lado esquerdo da equação:
Então:
Passo 6
Vemos que ambos os lados da equação são iguais:
Isso confirma que a função $ y(x) = \frac{c}{x} $ satisfaz a equação diferencial dada.
Resposta
Sim, $ y(x) = \frac{c}{x} $ é uma solução válida da equação diferencial $ x y^{\prime} = -y $.