Verifique que y(x)=c / x, sendo c uma constante arbitrária, é solução da equação
x y^prime=-y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função $ y(x) = \frac{c}{x} $, onde $ c $ é uma constante qualquer, é realmente uma solução da equação diferencial $ x y^{\prime} = -y $. Para isso, vamos usar conceitos básicos de cálculo, como derivadas e substituição em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa $ y^{\prime} $. Essa é a derivada de $ y $ em relação a $ x $. Então, vamos calcular a derivada de $ y(x) = \frac{c}{x} $.

Passo 3

Calculando a derivada:
y(x) = cx implies y^prime(x) = ddx(cx)
Sabemos que a derivada de $ \frac{1}{x} $ é $ -\frac{1}{x^{2}} $, então:
1x

Passo 4

Agora, vamos substituir $ y(x) $ e $ y^{\prime}(x) $ na equação diferencial dada:
y(x)
Substituindo:
y^prime(x)

Passo 5

Vamos simplificar o lado esquerdo da equação:
x ( -cx^2 ) = -cx
Então:
-cx = -cx

Passo 6

Vemos que ambos os lados da equação são iguais:
-cx = -cx
Isso confirma que a função $ y(x) = \frac{c}{x} $ satisfaz a equação diferencial dada.

Resposta

Sim, $ y(x) = \frac{c}{x} $ é uma solução válida da equação diferencial $ x y^{\prime} = -y $.

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