Verify that w_{x y}=w_{y x}.
w=x \sin y+y \sin x+x y

Passo 1

O enunciado pede para verificar que as derivadas parciais mistas de segunda ordem de
w = x \sin y + y \sin x + x y
são iguais, ou seja, mostrar que \displaystyle w_{xy} = w_{yx}.
O conteúdo aqui é o Teorema de Clairaut sobre igualdade de derivadas mistas, que vale se w tiver derivadas contínuas de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada parcial de w em relação a x. Diferenciando termo a termo: \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(x \sin y) = \sin y, \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(y \sin x) = y \cos x, \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(x y) = y.
Portanto
w_x = \sin y + y \cos x + y.

Passo 3

Agora obtemos a derivada mista \displaystyle w_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(w_x). Diferenciando cada termo de w_x em relação a y: \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(\sin y) = \cos y, \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(y \cos x) = \cos x, \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(y) = 1.
Logo
w_{xy} = \cos y + \cos x + 1.

Passo 4

Em seguida calculamos a derivada parcial de w em relação a y. Diferenciando termo a termo: \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(x \sin y) = x \cos y, \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(y \sin x) = \sin x, \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(x y) = x.
Assim
w_y = x \cos y + \sin x + x.

Passo 5

Finalmente obtemos a derivada mista \displaystyle w_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}(w_y). Diferenciando cada termo de w_y em relação a x: \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(x \cos y) = \cos y, \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(\sin x) = \cos x, \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(x) = 1.
Logo
w_{yx} = \cos y + \cos x + 1.

Passo 6

Comparando os resultados, vemos que
w_{xy} = \cos y + \cos x + 1 \quad\text{e}\quad w_{yx} = \cos y + \cos x + 1,
logo são iguais, confirmando o Teorema de Clairaut.

Resposta

\displaystyle w_{xy} = w_{yx} = \cos y + \cos x + 1.

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