The fifth-order partial derivative ∂^{5} f / ∂ x^{2} ∂ y^{3} is zero for each of the following functions. To show this as quickly as possible, which variable would you differentiate with respect to first: x or y ? Try to answer without writing anything down.
f(x, y)=y^{2} x^{4} e^{x}+2

Passo 1

O enunciado pede a derivada mista de quinta ordem
\frac{\partial^{5}f}{\partial x^{2}\,\partial y^{3}}
da função
f(x,y)=y^{2}x^{4}e^{x}+2.
Reparar que o conteúdo é derivação parcial de ordem alta em duas variáveis e que o termo não constante é do tipo y^{2}\cdot g(x).

Passo 2

Como o fator y^{2} é um polinômio de grau 2 em y, qualquer derivada de ordem 3 ou maior em y anula esse termo. Portanto, se aplicarmos primeiro
\frac{\partial^{3}}{\partial y^{3}}
sobre f, já obtemos zero, sem precisar tocar em x.

Resposta

Diferenciar primeiro em y.

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