Verify that
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que as derivadas parciais mistas de segunda ordem de
são iguais, ou seja, mostrar que
.
O conteúdo aqui é o Teorema de Clairaut sobre igualdade de derivadas mistas, que vale se tiver derivadas contínuas de segunda ordem.
O conteúdo aqui é o Teorema de Clairaut sobre igualdade de derivadas mistas, que vale se
Passo 2
Primeiro calculamos a derivada parcial de
em relação a
. Diferenciando termo a termo:
,
,
.
Portanto
Portanto
Passo 3
Agora obtemos a derivada mista
. Diferenciando cada termo de
em relação a
:
,
,
.
Logo
Logo
Passo 4
Em seguida calculamos a derivada parcial de
em relação a
. Diferenciando termo a termo:
,
,
.
Assim
Assim
Passo 5
Finalmente obtemos a derivada mista
. Diferenciando cada termo de
em relação a
:
,
,
.
Logo
Logo
Passo 6
Comparando os resultados, vemos que
logo são iguais, confirmando o Teorema de Clairaut.