Verique se as funções abaixo são periódicas, em caso afirmativo, determine seu período fundamental.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos verificar se a função
é periódica. Se for, devemos determinar seu período fundamental. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções periódicas e propriedades das funções trigonométricas e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função periódica. Uma função
é periódica se existir um número
tal que
para todo
. O menor valor positivo de
que satisfaz essa condição é chamado de período fundamental.
Passo 3
Observamos que a função dentro do exponencial é
. Sabemos que a função seno é periódica com período
, onde
é a frequência angular. No nosso caso,
, então o período do seno é:
Passo 4
Agora, precisamos verificar se a função composta
também é periódica. Para isso, vamos analisar o comportamento da função exponencial em relação ao período do seno.
Passo 5
Sabemos que a função exponencial
é uma função que, em geral, não é periódica porque seu crescimento é contínuo e não se repete em intervalos fixos. No entanto, quando essa função é composta com uma função periódica como o seno, podemos ter uma função periódica dependendo do argumento.
Passo 6
Como
é periódica com período 4, vamos verificar se
também repete seus valores a cada 4 unidades de
.
Passo 7
Calculando
:
Isso ocorre porque
, então a função exponencial repete seus valores a cada 4 unidades de
.
Resposta
A função
é periódica, e seu período fundamental é
.