Os vértices de uma elipse são os pontos (4,0) e (-4,0) e seus focos são os pontos (3,0) e (-3,0). Determine a equação da elipse.

Solução.

Como F_{1}=(-3,0) e F_{2}=(3,0), a reta focal é o eixo- O X e A_{1}=(-4,0), A_{2}=(4,0) são os vértices sobre a reta focal \ell.
Então, C=\frac{F_{1}+F_{2}}{2}=\frac{A_{1}+A_{2}}{2}=(0,0) é o centro da elipse, a=d\left(C, A_{1}\right)= d\left(C, A_{2}\right)=4, c=d\left(C, F_{1}\right)=d\left(C, F_{2}\right)=3 e b=\sqrt{a^{2}-c^{2}}=\sqrt{4^{2}-3^{2}}=
\sqrt{16-9}=\sqrt{7}.
Logo, a equação da elipse é \quad \mathcal{E}: \frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1.

Exemplo 2

Dois vértices de uma elipse \mathcal{E} são os pontos (0,6) e (0,-6) e seus focos são os pontos (0,4) e (0,-4). Determine a equação da elipse \mathcal{E}.
Solução.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a equação da elipse, e nos dá os seguintes pontos:
  • vértices: (0,6) e (0,-6);
  • focos: (0,4) e (0,-4).
As perguntas implícitas são: qual é o centro da elipse, qual é a orientação do eixo maior, quais são a, b e c (as distâncias características) e, finalmente, qual a equação da elipse.

Passo 2

Encontrar o centro da elipse. O centro é o ponto médio entre os vértices (ou entre os focos). A fórmula do ponto médio entre (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é \left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}\right). Aplicando aos vértices (0,6) e (0,-6):
C=\left(\dfrac{0+0}{2},\dfrac{6+(-6)}{2}\right)=(0,0).
Logo o centro é (0,0).

Passo 3

Determinar a orientação do eixo maior e os valores a e c.
  • Observando os pontos dados, tanto vértices quanto focos têm x=0; portanto o eixo maior é o eixo vertical (reta x=0), ou seja, a elipse é alongada na direção y.
  • a é a distância do centro a um vértice. Assim
a=d\big((0,0),(0,6)\big)=6.
  • c é a distância do centro a um foco. Assim
c=d\big((0,0),(0,4)\big)=4.

Passo 4

Explicar e usar a relação entre a, b e c. Para uma elipse com centro na origem e eixo maior vertical a forma padrão é
\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1,
com a>b>0. Os focos estão em (0,\pm c) e vale a relação
c^{2}=a^{2}-b^{2}.
Breve justificativa dessa relação (tipo prova curta): considere o ponto (b,0) (interseção com o eixo menor). As distâncias desse ponto aos focos (0,\pm c) são iguais a \sqrt{b^{2}+c^{2}} cada uma, então a soma das distâncias aos dois focos é 2\sqrt{b^{2}+c^{2}}. Pela definição da elipse essa soma é 2a. Assim \sqrt{b^{2}+c^{2}}=a, elevando ao quadrado dá b^{2}+c^{2}=a^{2}, ou seja c^{2}=a^{2}-b^{2}.

Passo 5

Calcular b usando b^{2}=a^{2}-c^{2}. Substituindo os valores encontrados:
b^{2}=a^{2}-c^{2}=6^{2}-4^{2}=36-16=20.
Logo
b=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.

Passo 6

Escrever a equação da elipse com centro na origem e eixo maior vertical. Usando a^{2}=36 e b^{2}=20, a forma padrão é
\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1.
Substituindo:
\frac{x^{2}}{20}+\frac{y^{2}}{36}=1.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{20}+\frac{y^{2}}{36}=1

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