Os vértices de uma elipse são os pontos
e
e seus focos são os pontos
e
. Determine a equação da elipse.
Solução.
Como
e
, a reta focal é o eixo-
e
,
são os vértices sobre a reta focal
.
Então,
é o centro da elipse,
e
.
Logo, a equação da elipse é
.
Exemplo 2
Dois vértices de uma elipse
são os pontos
e
e seus focos são os pontos
e
. Determine a equação da elipse
.
Solução.
Então,
Logo, a equação da elipse é
Passo 1
O enunciado pede para determinar a equação da elipse, e nos dá os seguintes pontos:
- vértices:
e ; - focos:
e .
As perguntas implícitas são: qual é o centro da elipse, qual é a orientação do eixo maior, quais são
,
e
(as distâncias características) e, finalmente, qual a equação da elipse.
Passo 2
Encontrar o centro da elipse. O centro é o ponto médio entre os vértices (ou entre os focos). A fórmula do ponto médio entre
e
é
. Aplicando aos vértices
e
:
Logo o centro é
.
Passo 3
Determinar a orientação do eixo maior e os valores
e
.
- Observando os pontos dados, tanto vértices quanto focos têm
; portanto o eixo maior é o eixo vertical (reta ), ou seja, a elipse é alongada na direção . -
é a distância do centro a um vértice. Assim
-
é a distância do centro a um foco. Assim
Passo 4
Explicar e usar a relação entre
,
e
. Para uma elipse com centro na origem e eixo maior vertical a forma padrão é
com
. Os focos estão em
e vale a relação
Breve justificativa dessa relação (tipo prova curta): considere o ponto
(interseção com o eixo menor). As distâncias desse ponto aos focos
são iguais a
cada uma, então a soma das distâncias aos dois focos é
. Pela definição da elipse essa soma é
. Assim
, elevando ao quadrado dá
, ou seja
.
Passo 5
Calcular
usando
. Substituindo os valores encontrados:
Logo
Passo 6
Escrever a equação da elipse com centro na origem e eixo maior vertical. Usando
e
, a forma padrão é
Substituindo: