Faça um esboço da curva
Para isso, escreva a equação nas coordenadas
e
do sistema de eixos
, obtido quando o sistema
é transladado para a origem
.
Passo 1
O enunciado pede que eu faça um esboço da curva dada pela equação
mas usando as coordenadas
e
do sistema de eixos
obtido por translação do sistema original
, em que a nova origem
tem coordenadas
no sistema original. Informações relevantes dadas:
- Equação original:
. - Nova origem:
(isto é, o ponto de coordenadas no sistema passa a ser a origem no sistema ).
A tarefa principal: escrever a equação da curva em termos dee (as coordenadas relativas à nova origem) e, a partir daí, esboçar a curva.
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever a relação entre as coordenadas dos dois sistemas. Se
são as coordenadas no sistema original
e
são as coordenadas no sistema transladado
com
, então cada ponto satisfaz
Explicação curta: deslocar a origem para
significa que para obter as coordenadas relativas à nova origem subtrai-se
das coordenadas originais; portanto
,
, ou invertendo,
,
.
Passo 3
Agora substituímos
e
na equação original. Vou expandir termo a termo, explicando como usar a fórmula do binômio quando necessário.
Calculemos cada parcela:
-
. Pelo binômio:
-
. Expansão:
logo
-
. Expansão:
logo
-
-
-
permanece .
Passo 4
Agora somamos todas as parcelas obtidas. Vou agrupar por potências de
, de
e constantes.
Somando:
Agora combine termos semelhantes:
- Termo em
: (não há outro). - Termos em
: (cancelam). - Termos em
: (cancelam). - Termo em
: . - Termos em
: (cancelam). - Constantes:
. Fazendo a soma passo a passo: , , , , (também cancelam).
Portanto sobra apenas
Passo 5
Interpretando a equação simplificada: a equação em coordenadas transladadas é
ou seja,
Isto é muito mais simples de entender e esboçar. Vou explicar o que essa equação representa e como desenhar o esboço na prova.
Propriedades importantes (que ajudam no esboço):
- Simetria: a equação depende de
, logo é simétrica em relação ao eixo (simetria em ). Assim existe uma curva de cima e outra de baixo, espelhadas. - Domínio em
: como , é necessário , portanto . Logo a curva só existe para (não há pontos com ). - Expressão explícita das duas ramas:
- Ponto crítico:
é um ponto especial (origem do sistema transladado). Ambas as ramas se encontram aí; a tangente em é horizontal (ver cálculo abaixo), portanto a curva tem uma ponta voltada para a direita com tangentes coincidentes no eixo .
Cálculo da derivada para ver inclinações (útil para o esboço): diferencie
em relação a
:
Para as ramas
(com
) podemos escrever a derivada explicitamente:
Substituindo
(raiz positiva) obtemos
que vai para
quando
. Isso mostra que a tangente em
é horizontal (ambas as ramas têm tangente horizontal aí).
Passo 6
Como esboçar na prática — receita de prova (passo a passo):
- Marque o ponto
(na prática, no sistema original isso é o ponto ). A curva começa aí e se abre para . - Use pontos fáceis para guiar a forma:
- Se
então . Ponto: . - Se
então → . Pontos: e . - Se
então → . Pontos: , . - Se
então → . Pontos próximos à origem.
- Se
- Ligar suavemente os pontos nas duas ramas, lembrando que as duas ramas são lisas para
e têm tangente horizontal em . - Lembre-se que não há parte da curva para
. - Se precisar desenhar no sistema original
, traslade tudo adicionando às coordenadas encontradas: por exemplo o ponto em corresponde a no sistema original.
Comentário motivador: deu para simplificar bastante com a translação — a equação virou uma forma canônica
, que é fácil de esboçar se você lembrar das propriedades acima. Vai dar certo na prova!