Faça um esboço da curva
x^{3}-3 x^{2}-y^{2}+3 x+4 y-5=0
Para isso, escreva a equação nas coordenadas \bar{x} e \bar{y} do sistema de eixos \bar{O} \bar{X} \bar{Y}, obtido quando o sistema O X Y é transladado para a origem \bar{O}=(1,2).

Passo 1

O enunciado pede que eu faça um esboço da curva dada pela equação
x^{3}-3 x^{2}-y^{2}+3 x+4 y-5=0,
mas usando as coordenadas \bar{x} e \bar{y} do sistema de eixos \bar{O}\bar{X}\bar{Y} obtido por translação do sistema original OXY, em que a nova origem \bar{O} tem coordenadas (1,2) no sistema original. Informações relevantes dadas:
  • Equação original: \;x^{3}-3 x^{2}-y^{2}+3 x+4 y-5=0.
  • Nova origem: \bar{O}=(1,2) (isto é, o ponto de coordenadas (1,2) no sistema OXY passa a ser a origem (0,0) no sistema \bar{O}\bar{X}\bar{Y}).
    A tarefa principal: escrever a equação da curva em termos de \bar{x} e \bar{y} (as coordenadas relativas à nova origem) e, a partir daí, esboçar a curva.

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever a relação entre as coordenadas dos dois sistemas. Se (x,y) são as coordenadas no sistema original OXY e (\bar{x},\bar{y}) são as coordenadas no sistema transladado \bar{O}\bar{X}\bar{Y} com \bar{O}=(1,2), então cada ponto satisfaz
x=\bar{x}+1,\qquad y=\bar{y}+2.
Explicação curta: deslocar a origem para (1,2) significa que para obter as coordenadas relativas à nova origem subtrai-se (1,2) das coordenadas originais; portanto \bar{x}=x-1, \bar{y}=y-2, ou invertendo, x=\bar{x}+1, y=\bar{y}+2.

Passo 3

Agora substituímos x=\bar{x}+1 e y=\bar{y}+2 na equação original. Vou expandir termo a termo, explicando como usar a fórmula do binômio quando necessário.
Calculemos cada parcela:
  1. \;x^{3}=(\bar{x}+1)^{3}. Pelo binômio:
(\bar{x}+1)^{3}=\bar{x}^{3}+3\bar{x}^{2}+3\bar{x}+1.
  1. \;-3x^{2}=-3(\bar{x}+1)^{2}. Expansão:
(\bar{x}+1)^{2}=\bar{x}^{2}+2\bar{x}+1,
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-3(\bar{x}+1)^{2}=-3\bar{x}^{2}-6\bar{x}-3.
  1. \;-y^{2}=-(\bar{y}+2)^{2}. Expansão:
(\bar{y}+2)^{2}=\bar{y}^{2}+4\bar{y}+4,
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-(\bar{y}+2)^{2}=-\bar{y}^{2}-4\bar{y}-4.
  1. \;+3x=3(\bar{x}+1)=3\bar{x}+3.
  2. \;+4y=4(\bar{y}+2)=4\bar{y}+8.
  3. \;-5 permanece -5.

Passo 4

Agora somamos todas as parcelas obtidas. Vou agrupar por potências de \bar{x}, de \bar{y} e constantes.
Somando:
\begin{aligned} &(\bar{x}^{3}+3\bar{x}^{2}+3\bar{x}+1) \\\ &\quad+(-3\bar{x}^{2}-6\bar{x}-3) \\\ &\quad+(-\bar{y}^{2}-4\bar{y}-4) \\\ &\quad+(3\bar{x}+3) \\\ &\quad+(4\bar{y}+8) \\\ &\quad-5 =0. \end{aligned}
Agora combine termos semelhantes:
  • Termo em \bar{x}^{3}: \bar{x}^{3} (não há outro).
  • Termos em \bar{x}^{2}: 3\bar{x}^{2}-3\bar{x}^{2}=0 (cancelam).
  • Termos em \bar{x}: 3\bar{x}-6\bar{x}+3\bar{x}=0 (cancelam).
  • Termo em \bar{y}^{2}: -\bar{y}^{2}.
  • Termos em \bar{y}: -4\bar{y}+4\bar{y}=0 (cancelam).
  • Constantes: 1-3-4+3+8-5. Fazendo a soma passo a passo: 1-3=-2, -2-4=-6, -6+3=-3, -3+8=5, 5-5=0 (também cancelam).
Portanto sobra apenas
\bar{x}^{3}-\bar{y}^{2}=0.

Passo 5

Interpretando a equação simplificada: a equação em coordenadas transladadas é
\bar{x}^{3}-\bar{y}^{2}=0,
ou seja,
\bar{y}^{2}=\bar{x}^{3}.
Isto é muito mais simples de entender e esboçar. Vou explicar o que essa equação representa e como desenhar o esboço na prova.
Propriedades importantes (que ajudam no esboço):
  • Simetria: a equação depende de \bar{y}^{2}, logo é simétrica em relação ao eixo \bar{X} (simetria em \bar{y}\mapsto -\bar{y}). Assim existe uma curva de cima e outra de baixo, espelhadas.
  • Domínio em \bar{x}: como \bar{y}^{2}\ge0, é necessário \bar{x}^{3}\ge0, portanto \bar{x}\ge0. Logo a curva só existe para \bar{x}\ge0 (não há pontos com \bar{x}<0).
  • Expressão explícita das duas ramas:
\bar{y}=\pm \bar{x}^{3/2},\qquad \bar{x}\ge0.
  • Ponto crítico: (\bar{x},\bar{y})=(0,0) é um ponto especial (origem do sistema transladado). Ambas as ramas se encontram aí; a tangente em (0,0) é horizontal (ver cálculo abaixo), portanto a curva tem uma ponta voltada para a direita com tangentes coincidentes no eixo \bar{X}.
Cálculo da derivada para ver inclinações (útil para o esboço): diferencie \bar{y}^{2}=\bar{x}^{3} em relação a \bar{x}:
2\bar{y}\,\frac{d\bar{y}}{d\bar{x}}=3\bar{x}^{2}.
Para as ramas \bar{y}=\pm \bar{x}^{3/2} (com \bar{x}>0) podemos escrever a derivada explicitamente:
\frac{d\bar{y}}{d\bar{x}}=\frac{3\bar{x}^{2}}{2\bar{y}}.
Substituindo \bar{y}=\bar{x}^{3/2} (raiz positiva) obtemos
\frac{d\bar{y}}{d\bar{x}}=\frac{3}{2}\bar{x}^{1/2},
que vai para 0 quando \bar{x}\to 0^+. Isso mostra que a tangente em (0,0) é horizontal (ambas as ramas têm tangente horizontal aí).

Passo 6

Como esboçar na prática — receita de prova (passo a passo):
  1. Marque o ponto \bar{O}=(0,0) (na prática, no sistema original isso é o ponto (1,2)). A curva começa aí e se abre para \bar{x}>0.
  2. Use pontos fáceis para guiar a forma:
    • Se \bar{x}=0 então \bar{y}=0. Ponto: (0,0).
    • Se \bar{x}=1 então \bar{y}^{2}=1 \bar{y}=\pm 1. Pontos: (1,1) e (1,-1).
    • Se \bar{x}=4 então \bar{y}^{2}=64 \bar{y}=\pm 8. Pontos: (4,8), (4,-8).
    • Se \bar{x}=\tfrac{1}{4} então \bar{y}^{2}=(\tfrac{1}{4})^{3}=\tfrac{1}{64} \bar{y}=\pm\tfrac{1}{8}. Pontos próximos à origem.
  3. Ligar suavemente os pontos nas duas ramas, lembrando que as duas ramas são lisas para \bar{x}>0 e têm tangente horizontal em (0,0).
  4. Lembre-se que não há parte da curva para \bar{x}<0.
  5. Se precisar desenhar no sistema original OXY, traslade tudo adicionando (1,2) às coordenadas encontradas: por exemplo o ponto (1,1) em (\bar{x},\bar{y}) corresponde a (x,y)=(2,3) no sistema original.
Comentário motivador: deu para simplificar bastante com a translação — a equação virou uma forma canônica \bar{y}^{2}=\bar{x}^{3}, que é fácil de esboçar se você lembrar das propriedades acima. Vai dar certo na prova!

Resposta

\bar{x}^{3}-\bar{y}^{2}=0

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