Os focos de uma elipse
são
e
, e o comprimento do seu eixo não focal é 8. Determine a equação da elipse
, os seus vértices e a sua excentricidade.
Solução.
Como
e
são os focos da elipse, a reta focal de
é
(paralela ao eixo
) e o centro de
é
. Além disso,
, isto é,
e
, isto é,
. Portanto,
e
são os vértices de
sobre a reta focal;
é a reta não focal;
e
são os vértices de
sobre a reta não focal e
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede as coisas abaixo.
Informações dadas:
- Os focos são
e . - O comprimento do eixo não focal (o eixo perpendicular ao eixo que contém os focos) é
.
O enunciado pede:
- Determinar a equação da elipse
. - Determinar os vértices da elipse.
- Determinar a excentricidade da elipse.
Passo 2
Encontrar o centro da elipse
.
O centro de uma elipse com focos e
é o ponto médio entre os focos. A fórmula do ponto médio de
e
é
.
Aplicando aos focos:
O centro de uma elipse com focos
Aplicando aos focos:
Passo 3
Determinar a orientação do eixo maior (se é vertical ou horizontal).
Os focos têm a mesma coordenada , ou seja, estão sobre a reta
(reta vertical). Isso significa que o eixo focal (e, portanto, o eixo maior da elipse) é vertical. Em outras palavras, a semi‑
(semi‑eixo maior) estará na direção
e a semi‑
(semi‑eixo menor) na direção
.
Os focos têm a mesma coordenada
Passo 4
Determinar
a partir do comprimento do eixo não focal.
O enunciado dá o comprimento do eixo não focal igual a . Logo,
O enunciado dá o comprimento do eixo não focal igual a
Passo 5
Calcular
, a distância do centro a cada foco.
A definição de é
. Usamos a fórmula da distância entre dois pontos
e
:
A definição de
Do centro
ao foco
(ou
):
Passo 6
Relacionar
e calcular
.
Para uma elipse com semi‑eixo maior , semi‑eixo menor
e distância focal
vale a relação clássica
Para uma elipse com semi‑eixo maior
Reescrevendo para
:
Substituindo
e
:
logo
Observação: como
, está consistente com
sendo o semi‑eixo maior.
Passo 7
Escrever a equação padrão da elipse com centro
e eixo maior vertical.
A forma padrão de uma elipse centrada em com eixo maior vertical é
A forma padrão de uma elipse centrada em
onde
está sob o termo em
(porque o eixo maior é vertical). Substituindo
,
,
e
,
Passo 8
Determinar os vértices da elipse.
- Vértices sobre o eixo maior (reta
): são , isto é,
- Vértices (co‑vértices) sobre o eixo não focal (reta
): são , isto é,
Passo 9
Calcular a excentricidade
.
A excentricidade de uma elipse é definida por
A excentricidade de uma elipse é definida por
Substituindo
e
:
Resposta
Vértices:
Excentricidade: