Os focos de uma elipse \mathcal{E} são (3,8) e (3,2), e o comprimento do seu eixo não focal é 8. Determine a equação da elipse \mathcal{E}, os seus vértices e a sua excentricidade.
Solução.
Como F_{1}=(3,2) e F_{2}=(3,8) são os focos da elipse, a reta focal de \mathcal{E} é \ell: x=3 (paralela ao eixo O Y ) e o centro de \mathcal{E} é C=\frac{F_{1}+F_{2}}{2}=(3,5). Além disso, 2 b=8, isto é, b=4, c=d\left(C, F_{1}\right)=d\left(C, F_{2}\right)=3 e a^{2}=b^{2}+c^{2}=4^{2}+3^{2} =16+9=25, isto é, a=5. Portanto, e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5} ; A_{1}=(3,0) e A_{2}=(3,10) são os vértices de \mathcal{E} sobre a reta focal; \ell^{\prime}: y=5 é a reta não focal; B_{1}=(-1,5) e B_{2}=(7,5) são os vértices de \mathcal{E} sobre a reta não focal e
\mathcal{E}: \frac{(x-3)^{2}}{16}+\frac{(y-5)^{2}}{25}=1

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede as coisas abaixo.
Informações dadas:
  • Os focos são F_{1}=(3,2) e F_{2}=(3,8).
  • O comprimento do eixo não focal (o eixo perpendicular ao eixo que contém os focos) é 2b=8.
O enunciado pede:
  • Determinar a equação da elipse \mathcal{E}.
  • Determinar os vértices da elipse.
  • Determinar a excentricidade da elipse.

Passo 2

Encontrar o centro da elipse C.
O centro de uma elipse com focos F_{1} e F_{2} é o ponto médio entre os focos. A fórmula do ponto médio de (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é \bigl(\tfrac{x_1+x_2}{2},\tfrac{y_1+y_2}{2}\bigr).
Aplicando aos focos:
C=\left(\frac{3+3}{2},\frac{2+8}{2}\right)=(3,5).

Passo 3

Determinar a orientação do eixo maior (se é vertical ou horizontal).
Os focos têm a mesma coordenada x=3, ou seja, estão sobre a reta \ell: x=3 (reta vertical). Isso significa que o eixo focal (e, portanto, o eixo maior da elipse) é vertical. Em outras palavras, a semi‑ a (semi‑eixo maior) estará na direção y e a semi‑ b (semi‑eixo menor) na direção x.

Passo 4

Determinar b a partir do comprimento do eixo não focal.
O enunciado dá o comprimento do eixo não focal igual a 2b=8. Logo,
b=4.

Passo 5

Calcular c, a distância do centro a cada foco.
A definição de c é c=d(C,F_i). Usamos a fórmula da distância entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2):
d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
Do centro C=(3,5) ao foco F_2=(3,8) (ou F_1):
c=d(C,F_2)=\sqrt{(3-3)^2+(8-5)^2}=\sqrt{0+3^2}=3.

Passo 6

Relacionar a,b,c e calcular a.
Para uma elipse com semi‑eixo maior a, semi‑eixo menor b e distância focal c vale a relação clássica
c^{2}=a^{2}-b^{2}.
Reescrevendo para a^{2}:
a^{2}=b^{2}+c^{2}.
Substituindo b=4 e c=3:
a^{2}=4^{2}+3^{2}=16+9=25,
logo
a=5.
Observação: como a=5>b=4, está consistente com a sendo o semi‑eixo maior.

Passo 7

Escrever a equação padrão da elipse com centro (h,k)=(3,5) e eixo maior vertical.
A forma padrão de uma elipse centrada em (h,k) com eixo maior vertical é
\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}=1,
onde a está sob o termo em y (porque o eixo maior é vertical). Substituindo h=3, k=5, b^{2}=16 e a^{2}=25,
\frac{(x-3)^{2}}{16}+\frac{(y-5)^{2}}{25}=1.

Passo 8

Determinar os vértices da elipse.
  • Vértices sobre o eixo maior (reta x=3): são C\pm(0,a), isto é,
A_{1}=(3,\,5-a)=(3,0),\qquad A_{2}=(3,\,5+a)=(3,10).
  • Vértices (co‑vértices) sobre o eixo não focal (reta y=5): são C\pm(b,0), isto é,
B_{1}=(3-b,\,5)=(-1,5),\qquad B_{2}=(3+b,\,5)=(7,5).

Passo 9

Calcular a excentricidade e.
A excentricidade de uma elipse é definida por
e=\frac{c}{a}.
Substituindo c=3 e a=5:
e=\frac{3}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{(x-3)^{2}}{16}+\frac{(y-5)^{2}}{25}=1
Vértices: (3,0) e (3,10); co‑vértices: (-1,5) e (7,5)
Excentricidade: \displaystyle e=\frac{3}{5}

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