1. Um vetor direção, num cubo unitário, vai da posição ( 1 / 4,0,1 / 2 ) até a posição ( 1 / 4,3 / 4, 1). Quais os índices da direção?

Passo 1

O enunciado pede os índices de direção (cosenos diretoriais) do vetor que vai de \bigl(\tfrac14,0,\tfrac12\bigr) até \bigl(\tfrac14,\tfrac34,1\bigr). O conteúdo é geometria vetorial e vamos precisar (1) obter o vetor diferença, (2) calcular sua norma e (3) dividir cada componente pela norma para achar os cosenos diretoriais.

Passo 2

O vetor diferença é
\vec v = \bigl(\tfrac14,\tfrac34,1\bigr) - \bigl(\tfrac14,0,\tfrac12\bigr) = \bigl(0,\tfrac34,\tfrac12\bigr).

Passo 3

Calculemos a norma de \vec v:
\|\vec v\| = \sqrt{0^2 + \Bigl(\tfrac34\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac12\Bigr)^2} = \sqrt{\tfrac{9}{16} + \tfrac{1}{4}} = \sqrt{\tfrac{9}{16} + \tfrac{4}{16}} = \tfrac{\sqrt{13}}{4}.

Passo 4

Os cosenos diretoriais são as componentes de \vec v divididas pela norma:
l = \frac{0}{\sqrt{13}/4} = 0,\quad m = \frac{\tfrac34}{\sqrt{13}/4} = \frac{3}{\sqrt{13}},\quad n = \frac{\tfrac12}{\sqrt{13}/4} = \frac{2}{\sqrt{13}}.

Resposta

Os índices de direção são
\bigl(l,m,n\bigr) = \Bigl(0,\tfrac{3}{\sqrt{13}},\tfrac{2}{\sqrt{13}}\Bigr).

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