O vetor dual
do tensor de segunda ordem antissimétrico
é definido por
. Mostre que esta expressão pode ser invertida para obter:
.
Passo 1
O enunciado define o vetor dual
a partir do tensor antissimétrico
por
onde
é o Levi–Civita e
. A tarefa é inverter essa relação para expressar
em função de
.
Passo 2
Para inverter, primeiro renomeamos o índice de
para evitar confusão e escrevemos
Agora multiplicamos ambos os lados por
e somamos em
, obtendo
Passo 3
Usamos a identidade de contração de dois Levi–Civita em três dimensões:
Substituindo na expressão anterior, o lado direito vira
Como
(antisimetria), temos
Passo 4
Portanto a contração no lado esquerdo satisfaz
Basta isolar
para obter a fórmula invertida: