Se A_{i j}=\delta_{i j} B_{k k}+3 B_{i j}, determine B_{k k} e utilize para resolver B_{i j} em função de A_{i j} e seu invariante A_{i i}.

Passo 1

O enunciado dá a relação entre dois tensores de segunda ordem A e B:
A_{ij} = \delta_{ij}\,B_{kk} + 3\,B_{ij},
onde B_{kk} é o traço de B e \delta_{ij} é o delta de Kronecker. O objetivo é (i) determinar B_{kk} em função de um invariante de A e (ii) inverter a relação para escrever B_{ij} em função de A_{ij} e do invariante A_{ii}.

Passo 2

Para encontrar B_{kk}, fazemos a contração i=j na equação dada. Assim, somando sobre i em
A_{ij} = \delta_{ij}\,B_{kk} + 3\,B_{ij},
obtemos
A_{ii} = \delta_{ii}\,B_{kk} + 3\,B_{ii}.

Passo 3

Usamos que \delta_{ii}=n (dimensão do espaço) e que B_{ii}=B_{kk} (é o mesmo traço). Logo,
A_{ii} = n\,B_{kk} + 3\,B_{kk} = (n+3)\,B_{kk}.
Dessa forma,
B_{kk} = \frac{A_{ii}}{n+3}.

Passo 4

Agora voltamos à relação original e isolamos B_{ij}:
A_{ij} = \delta_{ij}\,B_{kk} + 3\,B_{ij} \quad\Longrightarrow\quad 3\,B_{ij} = A_{ij} - \delta_{ij}\,B_{kk}.
Substituindo B_{kk} = A_{ii}/(n+3), obtemos
B_{ij} = \frac{1}{3}\Bigl(A_{ij} - \delta_{ij}\,\frac{A_{kk}}{n+3}\Bigr).

Resposta

B_{kk} = \frac{A_{ii}}{n+3}, \qquad B_{ij} = \frac{1}{3}\Bigl(A_{ij} - \delta_{ij}\,\frac{A_{kk}}{n+3}\Bigr).

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