O vetor \mathrm{v}=(1,-4,6) é combinação linear dos vetores \mathrm{v} 1=(1,-1,1) e v2 =(2,1,-3) ?

Passo 1

O enunciado dá os vetores \mathrm{v}=(1,-4,6), \mathrm{v}_1=(1,-1,1) e \mathrm{v}_2=(2,1,-3) e pergunta se \mathrm{v} é combinação linear de \mathrm{v}_1 e \mathrm{v}_2.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\mathrm{v}=(1,-4,6)
\mathrm{v}_1=(1,-1,1)
\mathrm{v}_2=(2,1,-3)
Pergunta clara: existe escalares \alpha e \beta tais que \alpha\mathrm{v}_1+\beta\mathrm{v}_2=\mathrm{v}?

Passo 2

O que significa ser combinação linear: dizer que \mathrm{v}\) é combinação linear de \(\mathrm{v}_1\) e \(\mathrm{v}_2\) é afirmar que existem escalares \(\alpha\) e \(\beta\) (números reais) tais que \[\alpha\mathrm{v}_1+\beta\mathrm{v}_2=\mathrm{v}.
Aqui \alpha e \beta são incógnitas. Escrevendo coordenada a coordenada (soma de vetores é soma das coordenadas), obtemos o sistema linear:
\begin{cases} \alpha\cdot 1+\beta\cdot 2 = 1,\\[4pt] \alpha\cdot (-1)+\beta\cdot 1 = -4,\\[4pt] \alpha\cdot 1+\beta\cdot (-3) = 6. \end{cases}
Ou de forma mais limpa:
\begin{cases} \alpha+2\beta=1,\\[4pt] -\alpha+\beta=-4,\\[4pt] \alpha-3\beta=6. \end{cases}
Nosso objetivo agora é resolver esse sistema por \alpha\] e \(\beta. Se existir solução consistente, então \mathrm{v} é combinação linear; se não existir, então não é.]

Passo 3

Vou resolver o sistema usando substituição (método simples e direto). Da primeira equação isolamos \alpha:
\alpha = 1-2\beta.
Agora substituímos essa expressão na segunda equação -\alpha+\beta=-4:
-(1-2\beta)+\beta=-4.
Desenvolvendo os parênteses:
-1+2\beta+\beta=-4.
Somando os termos em \beta:
-1+3\beta=-4.
Isolando \beta:
3\beta=-4+1=-3,
logo
\beta=-1.

Passo 4

Com \beta=-1 voltamos à expressão para \alpha:
\alpha = 1-2\beta = 1-2(-1)=1+2=3.
Então a solução candidata é \alpha=3 e \beta=-1. Agora precisamos verificar se essa solução satisfaz também a terceira equação \alpha-3\beta=6 (para garantir consistência com as três coordenadas):
\alpha-3\beta = 3-3(-1)=3+3=6,
que é exatamente o lado direito esperado. Logo a solução é consistente com todas as três equações.

Passo 5

Interpretação: encontramos \alpha=3 e \beta=-1 que satisfazem todas as coordenadas, portanto \mathrm{v} está no espaço gerado por \mathrm{v}_1 e \mathrm{v}_2 (no jargão: \mathrm{v} pertence ao span \{\mathrm{v}_1,\mathrm{v}_2\}). Em termos práticos, isso significa que podemos reconstruir \mathrm{v} como uma combinação dos outros dois vetores:
3\mathrm{v}_1-1\mathrm{v}_2=\mathrm{v}.

Resposta

Sim. \mathrm{v}=3\mathrm{v}_1-1\mathrm{v}_2 (ou seja, \alpha=3 e \beta=-1).

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