QUESTÃO 04- Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
Informações dadas e metas claras:
- A função integranda é
. - Os limites de integração são de
até . - Precisamos avaliar a integral imprópria (ou seja, tomar limite quando o extremo superior tende a
) e verificar convergência antes de calcular o valor.
Passo 2
Vamos lembrar a definição útil de hiperbólica: por definição,
Essa é uma identidade que nos permite transformar a função hiperbólica em combinações de exponenciais, o que facilita integrar. Aqui cada termo é uma exponencial simples, coisa que sabemos integrar facilmente.
Passo 3
Substituindo
na integral, temos
Agora multiplicamos os exponenciais dentro do integrando (álgebra de expoentes:
):
Logo a integral fica
Passo 4
Antes de integrar, verificamos convergência: ambos os termos
e
decaem exponencialmente quando
, portanto cada integral
e
converge. Assim a integral original converge e podemos calcular tomando limites dos integrais sobre
com
.
Passo 5
Calculemos as integrais próprias até
e depois fazemos
. Para
vale a fórmula básica (que usaremos): a antiderivada de
é
. Aplicando isso, para
,
Passo 6
Somando e multiplicando por
, obtemos o integral truncado:
Agora tomamos o limite quando
. Como
e
quando
, ficamos com
Passo 7
Resumo do raciocínio em poucas linhas: usando
transformamos a integral em combinação de integrais exponenciais, cada uma com antiderivada conhecida; avaliando o limite no infinito obtemos o valor final. Técnica principal usada: representação exponencial da função hiperbólica e regra da integral de exponenciais.