QUESTÃO 04- Calcule
\int_{0}^{\infty} \operatorname{cosh} (t) e^{-2 t} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} \operatorname{cosh}(t)\,e^{-2t}\,dt.
Informações dadas e metas claras:
  • A função integranda é \operatorname{cosh}(t)\,e^{-2t}.
  • Os limites de integração são de \,0 até \,\infty.
  • Precisamos avaliar a integral imprópria (ou seja, tomar limite quando o extremo superior tende a \infty) e verificar convergência antes de calcular o valor.

Passo 2

Vamos lembrar a definição útil de hiperbólica: por definição,
\operatorname{cosh}(t)=\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}.
Essa é uma identidade que nos permite transformar a função hiperbólica em combinações de exponenciais, o que facilita integrar. Aqui cada termo é uma exponencial simples, coisa que sabemos integrar facilmente.

Passo 3

Substituindo \operatorname{cosh}(t) na integral, temos
\int_{0}^{\infty} \operatorname{cosh}(t)\,e^{-2t}\,dt = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{t}+e^{-t}}{2}\,e^{-2t}\,dt.
Agora multiplicamos os exponenciais dentro do integrando (álgebra de expoentes: e^{a}e^{b}=e^{a+b}):
\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}\,e^{-2t}=\frac{1}{2}\big(e^{t-2t}+e^{-t-2t}\big) =\frac{1}{2}\big(e^{-t}+e^{-3t}\big).
Logo a integral fica
\int_{0}^{\infty} \operatorname{cosh}(t)\,e^{-2t}\,dt = \frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\big(e^{-t}+e^{-3t}\big)\,dt.

Passo 4

Antes de integrar, verificamos convergência: ambos os termos e^{-t} e e^{-3t} decaem exponencialmente quando t\to\infty, portanto cada integral \int_{0}^{\infty} e^{-t}\,dt e \int_{0}^{\infty} e^{-3t}\,dt converge. Assim a integral original converge e podemos calcular tomando limites dos integrais sobre [0,R] com R\to\infty.

Passo 5

Calculemos as integrais próprias até R e depois fazemos R\to\infty. Para a>0 vale a fórmula básica (que usaremos): a antiderivada de e^{-a t} é -\frac{1}{a}e^{-a t}. Aplicando isso, para R>0,
\int_{0}^{R} e^{-t}\,dt = \big[-e^{-t}\big]_{0}^{R} = -e^{-R}+e^{0}=1-e^{-R},
\int_{0}^{R} e^{-3t}\,dt = \left[-\frac{1}{3}e^{-3t}\right]_{0}^{R} = -\frac{1}{3}e^{-3R}+\frac{1}{3}= \frac{1}{3}\big(1-e^{-3R}\big).

Passo 6

Somando e multiplicando por \frac{1}{2}, obtemos o integral truncado:
\frac{1}{2}\int_{0}^{R}\big(e^{-t}+e^{-3t}\big)\,dt = \frac{1}{2}\left(1-e^{-R}+\frac{1}{3}\big(1-e^{-3R}\big)\right).
Agora tomamos o limite quando R\to\infty. Como e^{-R}\to 0 e e^{-3R}\to 0 quando R\to\infty, ficamos com
\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3} = \frac{2}{3}.

Passo 7

Resumo do raciocínio em poucas linhas: usando \operatorname{cosh}(t)=\frac{e^{t}+e^{-t}}{2} transformamos a integral em combinação de integrais exponenciais, cada uma com antiderivada conhecida; avaliando o limite no infinito obtemos o valor final. Técnica principal usada: representação exponencial da função hiperbólica e regra da integral de exponenciais.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}

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