Achar a equação parametrica da reta de interseção entre dois planos cujas equações sao 5 x-7 y-3 z-6=0 e x+4 y-z-12=0.

Passo 1

O enunciado pede: achar a equação paramétrica da reta de interseção entre dois planos. As informações dadas são as duas equações dos planos:
5x-7y-3z-6=0
x+4y-z-12=0
Portanto, queremos uma reta que satisfaça simultaneamente essas duas equações — isto é, todos os pontos da reta pertencem aos dois planos.

Passo 2

Primeiro vamos extrair os vetores normais a cada plano. Um plano na forma \,ax+by+cz+d=0, tem vetor normal (a,b,c), porque esse vetor é ortogonal a qualquer vetor tangente ao plano. Assim:
\mathbf{n}_1 = (5,-7,-3)
\mathbf{n}_2 = (1,4,-1)
Esses vetores nos dizem as direções perpendiculares aos planos.

Passo 3

A reta de interseção é paralela ao produto vetorial \mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2, porque a direção da reta deve ser ortogonal a ambos os normais (ou seja, perpendicular a cada normal), e o produto vetorial dá exatamente um vetor ortogonal a dois vetores dados. Então vamos calcular \mathbf{v}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2.

Passo 4

Explico como calcular o produto vetorial em detalhes: para \mathbf{n}_1=(n_{1x},n_{1y},n_{1z}) e \mathbf{n}_2=(n_{2x},n_{2y},n_{2z}),
\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ n_{1x} & n_{1y} & n_{1z} \\\ n_{2x} & n_{2y} & n_{2z} \end{vmatrix}
onde \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} são os versores das direções x,y,z. Aqui substituímos os componentes:
\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 5 & -7 & -3 \\\\ 1 & 4 & -1 \end{vmatrix}
Calculando coordenada a coordenada:
\begin{aligned} (\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2)_x &= (-7)(-1)-(-3)(4)=7+12=19,\\\ (\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2)_y &= -\big(5(-1)-(-3)(1)\big)=-(-5+3)=2,\\\ (\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2)_z &= 5\cdot4-(-7)\cdot1=20+7=27. \end{aligned}
Portanto
\mathbf{v}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2=(19,2,27).
Esse é um vetor diretor da reta de interseção.

Passo 5

Agora precisamos de um ponto qualquer que pertença simultaneamente aos dois planos. Para isso resolvemos o sistema
\begin{cases} 5x-7y-3z=6,\\[4pt] x+4y-z=12. \end{cases}
Uma técnica prática é atribuir um valor conveniente a uma variável (por exemplo y=0) e resolver as duas equações restantes — isso frequentemente dá um ponto simples. Escolhendo y=0, as equações ficam:
5x-3z=6
x-z=12
Da segunda obtemos \,x=12+z. Substituindo na primeira:
5(12+z)-3z=6.
Calcule passo a passo:
60+5z-3z=6 \quad\Rightarrow\quad 60+2z=6 \quad\Rightarrow\quad 2z=-54 \quad\Rightarrow\quad z=-27.
Então x=12+z=12-27=-15. Com y=0 obtemos o ponto
P_0=(-15,\,0,\,-27).]

Passo 6

Vamos checar rapidamente que P_0 realmente satisfaz ambas as equações (é bom confirmar sempre): substituindo em \,5x-7y-3z-6,
5(-15)-7(0)-3(-27)-6 = -75 +81 -6 =0,
ok. E em \,x+4y-z-12,
-15 +0 -(-27) -12 = -15 +27 -12 =0,
ok. Então P_0 pertence aos dois planos.

Passo 7

Agora formamos a equação paramétrica da reta usando a forma vetorial
\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0 + t\mathbf{v},
onde \mathbf{r}_0 é um ponto da reta (aqui P_0) e \mathbf{v} é o vetor diretor encontrado. Substituindo:
\mathbf{r}(t)=(-15,\,0,\,-27) + t(19,\,2,\,27).
Escrevendo por coordenadas (equações paramétricas):
\begin{aligned} x(t)&=-15+19t,\\[4pt] y(t)&=0+2t=2t,\\[4pt] z(t)&=-27+27t. \end{aligned}]

Resposta

\mathbf{r}(t)=(-15,\,0,\,-27)+t(19,\,2,\,27)\n
x=-15+19t,\;y=2t,\;z=-27+27t

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