Achar a equação parametrica da reta de interseção entre dois planos cujas equações sao 5 x-7 y-3 z-6=0 e x+4 y-z-12=0.
Passo 1
O enunciado pede: achar a equação paramétrica da reta de interseção entre dois planos. As informações dadas são as duas equações dos planos:
5x-7y-3z-6=0
x+4y-z-12=0
Portanto, queremos uma reta que satisfaça simultaneamente essas duas equações — isto é, todos os pontos da reta pertencem aos dois planos.
Passo 2
Primeiro vamos extrair os vetores normais a cada plano. Um plano na forma \,ax+by+cz+d=0, tem vetor normal (a,b,c), porque esse vetor é ortogonal a qualquer vetor tangente ao plano. Assim:
\mathbf{n}_1 = (5,-7,-3)
\mathbf{n}_2 = (1,4,-1)
Esses vetores nos dizem as direções perpendiculares aos planos.
Passo 3
A reta de interseção é paralela ao produto vetorial \mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2, porque a direção da reta deve ser ortogonal a ambos os normais (ou seja, perpendicular a cada normal), e o produto vetorial dá exatamente um vetor ortogonal a dois vetores dados. Então vamos calcular \mathbf{v}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2.
Passo 4
Explico como calcular o produto vetorial em detalhes: para \mathbf{n}_1=(n_{1x},n_{1y},n_{1z}) e \mathbf{n}_2=(n_{2x},n_{2y},n_{2z}),
Uma técnica prática é atribuir um valor conveniente a uma variável (por exemplo y=0) e resolver as duas equações restantes — isso frequentemente dá um ponto simples. Escolhendo y=0, as equações ficam:
5x-3z=6
x-z=12
Da segunda obtemos \,x=12+z. Substituindo na primeira: