O vetor posição de um íon é inicialmente \vec{r}= 3,4 \hat{i}+6,3 \vec{j}+3,0 \vec{k} \mathrm{e}, 2,3 \mathrm{~s} depois, passa a ser \vec{r}=5,4 \hat{i}-3,1 \vec{j}-7,3 \vec{k}, com todos os valores em metros. Qual o módulo do vetor velocidade média \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s} durante este tempo?
(a)6,12
(b) 14,52
(c) 11,39
(d) 4,37
(e) 9,75

Passo 1

O enunciado dá dois vetores posição (em metros) e um intervalo de tempo (em segundos), e pergunta qual o módulo da velocidade média (em m/s) durante esse intervalo. Dados fornecidos:
\vec{r}_\text{inicial} = 3,4\,\hat{i} + 6,3\,\hat{j} + 3,0\,\hat{k}
\vec{r}_\text{final} = 5,4\,\hat{i} - 3,1\,\hat{j} - 7,3\,\hat{k}
\Delta t = 2,3\\ \text{s}
O que se pede: o módulo da velocidade média |\vec{v}_\text{m}| em \mathrm{m/s}.

Passo 2

Fórmula que vamos usar: a velocidade média vetorial é a variação do vetor posição dividida pelo intervalo de tempo. Em símbolos,
\vec{v}_\text{m}=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t},
onde \Delta\vec{r}=\vec{r}_\text{final}-\vec{r}_\text{inicial} e \Delta t é o tempo decorrido. O módulo da velocidade média é
|\vec{v}_\text{m}|=\frac{|\Delta\vec{r}|}{\Delta t}.
Explicando: \Delta\vec{r} tem componentes \Delta x,\Delta y,\Delta z. O módulo de um vetor \vec{a}=(a_x,a_y,a_z) é
|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}.

Passo 3

Calcular \Delta\vec{r}=\vec{r}_\text{final}-\vec{r}_\text{inicial} componente a componente:
\Delta x = 5,4-3,4 = 2,0
\Delta y = -3,1-6,3 = -9,4
\Delta z = -7,3-3,0 = -10,3
Portanto
\Delta\vec{r}=2,0\,\hat{i}-9,4\,\hat{j}-10,3\,\hat{k}.

Passo 4

Calcular o módulo de \Delta\vec{r} usando a fórmula do passo 2:
|\Delta\vec{r}|=\sqrt{(2,0)^2+(-9,4)^2+(-10,3)^2}.
Agora computamos cada termo:
(2,0)^2 = 4,00,
(9,4)^2 = 88,36,
(10,3)^2 = 106,09.
Somando:
|\Delta\vec{r}|=\sqrt{4,00+88,36+106,09}=\sqrt{198,45}.
A raiz quadrada dá aproximadamente
|\Delta\vec{r}|\approx 14,087\\ \text{m}.

Passo 5

Agora dividimos pelo intervalo de tempo para obter o módulo da velocidade média:
|\vec{v}_\text{m}|=\frac{|\Delta\vec{r}|}{\Delta t}=\frac{14,087}{2,3}\\ \text{m/s}.
Fazendo a divisão:
|\vec{v}_\text{m}|\approx 6,1239\\ \text{m/s}.
Arredondando para duas casas decimais (como as alternativas estão com duas casas):
|\vec{v}_\text{m}|\approx 6,12\\ \text{m/s}.

Resposta

\text{(a) }6,12\\ \mathrm{m/s}

Exercícios relacionados