Um objeto de massa m está sujeito a três forças que lhe imprimem uma aceleração \vec{a}. Se duas das três forças são F_{1} e F_{2}, determine a terceira força.
(a) \vec{F}_{2}.
(b) m \vec{a}-\left(\vec{F}_{2}+\vec{F}_{1}\right).
(c) \vec{F}_{1}+\vec{F}_{2}.
(d) \vec{F}_{1} / 2.
(e) -\vec{F}_{1}-\vec{F}_{2}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só. Informações dadas:
  • A massa do objeto é m.
  • O objeto tem aceleração \vec{a}.
  • Há três forças atuando sobre o objeto; duas delas são \vec{F}_{1} e \vec{F}_{2}.
    Pergunta: determinar a terceira força desconhecida (vou chamá‑la de \vec{F}_{3}) em função de m, \vec{a}, \vec{F}_{1} e \vec{F}_{2}.

Passo 2

Princípio físico que relaciona essas quantidades (explicação didática):
  • A soma vetorial de todas as forças que atuam num corpo determina a sua aceleração. Em palavras: “as forças se somam como vetores e o resultado é igual à massa vezes a aceleração”.
  • Em fórmulas, essa ideia se escreve como
\vec{F}_{\text{total}} = m\vec{a}.

Aqui:
  • \vec{F}_{\text{total}} é o vetor soma de todas as forças aplicadas sobre o corpo.
  • m é um escalar (a massa).
  • \vec{a} é o vetor aceleração.
  • Todo símbolo vetorial (seta) indica que devemos somar/comparar componentes x,y,(z) correspondentes — é operação componente a componente.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: as três forças são \vec{F}_{1}, \vec{F}_{2} e \vec{F}_{3}, então a soma vetorial delas é a força total. Em fórmula:
\vec{F}_{1}+\vec{F}_{2}+\vec{F}_{3}=m\vec{a}.

Passo 4

Agora isolamos a incógnita \vec{F}_{3}. Subtraímos \vec{F}_{1} e \vec{F}_{2} dos dois lados da igualdade (isso é álgebra vetorial normal — subtrair vetores é fazer a subtração componente a componente):
\vec{F}_{3}=m\vec{a}-\bigl(\vec{F}_{1}+\vec{F}_{2}\bigr).
Explicação do que fizemos: mover termos para o outro lado troca o sinal; o parêntese indica que primeiro somamos \vec{F}_{1} e \vec{F}_{2} (vetorialmente) e depois fazemos a subtração de cada componente de m\vec{a} pelo correspondente componente dessa soma.

Passo 5

Como operar isso na prática (passo a passo concreto, sem calculadora se tiver números simples):
  • Se você tem as componentes, por exemplo \vec{a}=(a_x,a_y), \vec{F}_{1}=(F_{1x},F_{1y}), \vec{F}_{2}=(F_{2x},F_{2y}), então primeiro calcula m\vec{a}=(m a_x,m a_y).
  • Depois soma \vec{F}_{1}+\vec{F}_{2}=(F_{1x}+F_{2x},\,F_{1y}+F_{2y}).
  • Finalmente subtrai: \vec{F}_{3}=(m a_x-(F_{1x}+F_{2x}),\, m a_y-(F_{1y}+F_{2y})).
    Exemplo numérico rápido para fixar (apenas para ver procedimento): seja m=2, \vec{a}=(3,1)\,\text{(m/s}^2), \vec{F}_{1}=(2,0)\,\text{N}, \vec{F}_{2}=(0,1)\,\text{N}.
  • m\vec{a}=(6,2)\,\text{N}.
  • \vec{F}_{1}+\vec{F}_{2}=(2,1)\,\text{N}.
  • \vec{F}_{3}=(6,2)-(2,1)=(4,1)\,\text{N}.
    Isso confere: a soma (2,0)+(0,1)+(4,1)=(6,2)=m\vec{a}.

Passo 6

Comparando com as alternativas dadas: a expressão que obtivemos para a terceira força é exatamente
\vec{F}_{3}=m\vec{a}-\bigl(\vec{F}_{1}+\vec{F}_{2}\bigr),
que corresponde à alternativa (b).

Resposta

(b)

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