O vetor posição
(\overrightarrow{\mathrm{r}})
de uma partícula aponta no sentido positivo do eixo
( z
). Qual deve ser a direção e o sentido da força responsável pelo torque se o torque a que a partícula está submetida:
Se aponta no sentido negativo de
( y
) ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa simples:
  • Vetor posição: \mathbf{r} aponta no sentido positivo do eixo z.
  • Torque: \boldsymbol{\tau} aponta no sentido negativo do eixo y.
    Pergunta: qual deve ser a direção e o sentido da força \mathbf{F} que produz esse torque?

Passo 2

Lembra do conceito básico (sem pânico — é só uma fórmula com sentido físico): o torque é o produto vetorial entre posição e força:
\boldsymbol{\tau}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}.
Aqui \mathbf{r} é o vetor que vai do ponto de referência até a aplicação da força (o “braço de alavanca”) e \mathbf{F} é a força aplicada. O produto vetorial dá um vetor perpendicular ao plano formado por \mathbf{r} e \mathbf{F}, com direção dada pela regra da mão direita.

Passo 3

Escrevemos \mathbf{r} e \mathbf{F} em componentes cartesianas. Como \mathbf{r} aponta em +z,
\mathbf{r}=r\,\hat{\mathbf{k}},
com r>0. Seja
\mathbf{F}=F_x\hat{\mathbf{i}}+F_y\hat{\mathbf{j}}+F_z\hat{\mathbf{k}}.
Calcule o produto vetorial (pode usar a regra padrão das componentes):
\mathbf{r}\times\mathbf{F} = r\hat{\mathbf{k}}\times(F_x\hat{\mathbf{i}}+F_y\hat{\mathbf{j}}+F_z\hat{\mathbf{k}}) = r\big(-F_y\hat{\mathbf{i}} + F_x\hat{\mathbf{j}} + 0\cdot\hat{\mathbf{k}}\big).
Observação importante: o componente F_z não aparece no torque quando \mathbf{r} é paralelo a \hat{\mathbf{k}}; componentes de \mathbf{F} paralelas a \mathbf{r} não geram torque.

Passo 4

Queremos que o torque aponte em -\hat{\mathbf{j}}, ou seja
\boldsymbol{\tau}=-\tau\,\hat{\mathbf{j}},\qquad \tau>0.
Compare com a expressão encontrada:
\boldsymbol{\tau}=r(-F_y\hat{\mathbf{i}}+F_x\hat{\mathbf{j}}).
Igualando componentes:
  • Componente em \hat{\mathbf{i}}: -rF_y=0 \Rightarrow F_y=0.
  • Componente em \hat{\mathbf{j}}: rF_x=-\tau \Rightarrow F_x=-\dfrac{\tau}{r} (é negativa).
  • Componente em \hat{\mathbf{k}}: 0=0 (ok).
Portanto o único componente perpendicular relevante é F_x, e ele deve ser negativo.

Passo 5

Intuição com a regra da mão direita (mais fácil de memorizar): se \mathbf{r} aponta para cima ( +z), e a força tem que gerar um torque apontando para baixo ao longo de -y, então a força deve estar apontando para o lado -x. Verificação rápida:
\hat{\mathbf{k}}\times(-\hat{\mathbf{i}}) = -\hat{\mathbf{j}},
logo faz sentido físico: \mathbf{F} deve apontar no sentido negativo do eixo x.

Passo 6

Resumo prático que você pode usar na prova:
  • A força responsável tem direção ao longo do eixo x e sentido negativo (para -\hat{\mathbf{i}}).
  • O componente necessário é F_x=-\dfrac{\tau}{r}.
  • Qualquer componente de \mathbf{F} na direção \hat{\mathbf{k}} (paralela a \mathbf{r}) não altera o torque; componentes em \hat{\mathbf{j}} não podem existir se o torque tiver componente em \hat{\mathbf{i}} nula (vimos F_y=0).

Resposta

A força deve apontar no sentido negativo do eixo x (direção -\hat{\mathbf{i}}); em componentes F_x=-\dfrac{\tau}{r}, F_y=0 (com F_z livre, pois não altera o torque).

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